Compenetrazione solidi

In questa pagina di DISEGNO TECNICO si illustra come eseguire un esercizio di compenetrazione tra due solidi a spigolo. L’argomento era già stato trattato alla pagina del sito internet ALICE APPUNTI dedicata alle intersezioni tra solidi in proiezioni ortogonali, dove sono presenti gli appunti teorici. E’ possibile accedere a tale pagina cliccando sul sottostante link.

Scegliamo ad esempio di eseguire la compenetrazione tra un dodecaedro e una piramide a base pentagonale.


FASE 1: DISEGNARE IL DODECAEDRO

Per questo esercizio si consiglia di utilizzare il foglio da disegno in posizione verticale.

Il dodecaedro poggiante sul π1 avrà le proiezioni ortogonali come quelle riportate in questa figura.

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Per tracciare il dodecaedro è sufficiente seguire passo passo la spiegazione riportata alla pagina del sito internet “ALICE APPUNTI” dedicata ai “POLIEDRI REGOLARI“.


FASE 2: DISEGNARE LA PIRAMIDE A BASE PENTAGONALE

La piramide a base pentagonale poggiante sul π1 può per esempio avere le sue proiezioni (prima e seconda) come quelle riportate nella figura sottostante.

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FASE 3: ESECUZIONE DELLA COMPENETRAZIONE

Poiché a priori non sappiamo come i due solidi andranno a compenetrarsi, è bene (per prudenza) tracciare con un segno lieve tutte quelle linee di un solido che vanno a sovrapporsi alle proiezioni ortogonali dell’altro. Può darsi infatti che nel corso della compenetrazione esse si spezzino o risultino coperte. Solo una volta eseguita l’intersezione sarà possibile determinare una volta per tutte quali tra queste linee saranno nascoste o visibili.

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Occorre ricordare che una linea è coinvolta nella compenetrazione se (e solo se) così appare sia in prima che in seconda proiezione. Se ad esempio una linea della piramide risulta sovrapposta alla proiezione del dodecaedro in prima proiezione, ma tale sovrapposizione non è presente in seconda proiezione, possiamo escludere quella linea dal processo di compenetrazione.

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COMPENETRAZIONE DEGLI SPIGOLI DELLA PIRAMIDE

Note le basi del processo di compenetrazione, (e cioè come determinare l’intersezione di una retta con un solido a spigolo), il procedimento da eseguire è esattamente lo stesso anche per due solidi. Assumeremo cioè che i lati di uno di essi (solitamente quello con meno spigoli) siano rette che intersecano l’altro solido.

Cominciamo per esempio dalla piramide. Gli spigoli della piramide ed i suoi lati di base intersecano il dodecaedro, spezzandosi. Questo è visibile sia dalla prima che dalla seconda proiezione. Occorre determinare esattamente dove questi segmenti si spezzano. Il procedimento è identico a quello necessario per determinare la compenetrazione tra un solido e una retta.

Si determinano così i punti di rottura dei lati della piramide con il dodecaedro, sia in prima che in seconda proiezione.

Uniamo in prima proiezione i punti di rottura ottenuti, e poi facciamo lo stesso in seconda. In un esercizio così complesso, però, ci accorgiamo subito che se unissimo tra loro i punti di rottura trovati sui lati della piramide, le sezioni di rottura ottenute verrebbero a trovarsi su differenti facce del dodecaedro, e questo è inammissibile. Due punti di rottura possono infatti essere uniti solo se fanno parte della medesima faccia del dodecaedro, in quanto ogni faccia ha differente inclinazione.

COMPENETRAZIONE DEGLI SPIGOLI DEL DODECAEDRO

Occorre dunque trovare ulteriori “punti di rottura”, cioè quei punti dove i lati del dodecaedro si spezzano nella piramide. Per determinare questi punti il procedimento è identico a quello precedentemente utilizzato e descritto. Si immagina stavolta che gli spigoli del dodecaedro siano rette, e si individua dove esse intersecano la piramide. A quel punto si utilizza l’ormai noto procedimento che permette di determinare i punti di rottura di una retta con un solido. E’ quindi possibile completare il disegno ripassando le linee nascoste e le linee in evidenza.