Compenetrazione solidi

In questa pagina di DISEGNO TECNICO si illustra come eseguire un esercizio di compenetrazione tra due solidi a spigolo.

Scegliamo ad esempio di eseguire la compenetrazione tra un dodecaedro e una piramide a base pentagonale.

FASI DI LAVORO:

1) Disegnare il dodecaedro (poggiante sul piano π1)

2) Disegnare la piramide a base pentagonale (poggiante sul piano π1)

3) Eseguire la compenetrazione tra i due solidi.

FASE 1: DISEGNARE IL DODECAEDRO

Si traccia la linea di terra, in modo tale da dividere il foglio da disegno quasi a metà. Per questo esercizio si consiglia inoltre di utilizzare il foglio da disegno in posizione verticale.

Il dodecaedro poggiante sul π1 avrà le proiezioni ortogonali come quelle riportate nella figura 1.

COMPENETRAZIONE SOLIDI, FIGURA 1. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
COMPENETRAZIONE SOLIDI, FIGURA 1. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog Figura tratta dal testo “CONOSCENZA E RAPPRESENTAZIONE” del Prof. Leandro Maria Bartoli, ALINEA editrice.

Vediamo come realizzare questa costruzione.

Si comincia dalla prima proiezione.

Per prima cosa è necessario tracciare il pentagono della base. I suoi lati sono quelli indicati in rosso nella figura 1-A, e che nel disegno terminato (figura 1) appaiono tratteggiati, in quanto non visibili.

COMPENETRAZIONE SOLIDI, FIGURA 1-A. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
COMPENETRAZIONE SOLIDI, FIGURA 1-A. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog Figura tratta dal testo “CONOSCENZA E RAPPRESENTAZIONE” del Prof. Leandro Maria Bartoli, ALINEA editrice.

Per tracciare il pentagono di base è sufficiente seguire passo passo la spiegazione riportata a questa pagina del sito internet “ALICE APPUNTI“:

http://www.aliceappunti.altervista.org/costruzioni-elementari.html

(paragrafo PENTAGONO, riquadro della costruzione data la circonferenza).

A questo punto si traccia la base superiore: un pentagono ruotato di 180° rispetto alla base poggiante sul π1, come mostrato nella figura 1-B. La costruzione di tale pentagono, sebbene ruotata di 180°, è assolutamente identica –nei suoi passaggi- a quella precedentemente descritta.

COMPENETRAZIONE SOLIDI, FIGURA 1-B. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
COMPENETRAZIONE SOLIDI, FIGURA 1-B. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog Figura tratta dal testo “CONOSCENZA E RAPPRESENTAZIONE” del Prof. Leandro Maria Bartoli, ALINEA editrice.

Uniamo O’ (centro della circonferenza che ha permesso di tracciare i due pentagoni) con i punti D’ed E’ della base superiore, prolungandoli per un po’, finchè H’-K’ non sia uguale a A’-C’ (figura 1-C). In prima proiezione si ha infatti la conservazione delle misure delle diagonali orizzontali.

COMPENETRAZIONE SOLIDI, FIGURA 1-C. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
COMPENETRAZIONE SOLIDI, FIGURA 1-C. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog FiguraTratta dal testo “CONOSCENZA E RAPPRESENTAZIONE” del Prof. Leandro Maria Bartoli, ALINEA editrice.

Trovati in questo modo i punti H’ e K’, puntando con il compasso in O’ con apertura O’-H’, ecco che si ottiene una seconda circonferenza concentrica alla prima.

Uniamo O’ a tutti quanti i vertici del disegno (base inferiore e base superiore) e prolunghiamoli fino ad incontrare tale seconda circonferenza: i punti trovati sono tutti i punti della prima proiezione. Non resta che unirli secondo quanto mostrato anche in figura 1.

Veniamo alla seconda proiezione.

Riportiamo in seconda proiezione i punti rappresentati in prima, secondo quanto indicato anche nella figura 1. Le altezze dei vari vertici sono 3: R/φ, R e (R+ R/φ).

Si indica con “R” la misura del raggio della circonferenza esterna precedentemente determinata in prima proiezione, e con “R/φ” il raggio della circonferenza più interna in prima proiezione.

Gli spigoli in vista e quelli nascosti sono indicati sempre in figura 1.

FASE 2: DISEGNARE LA PIRAMIDE A BASE PENTAGONALE

La piramide a base pentagonale poggiante sul π1 può per esempio avere le sue proiezioni (prima e seconda) pari a quelle riportate nella figura 2.

COMPENETRAZIONE SOLIDI, FIGURA 2. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
COMPENETRAZIONE SOLIDI, FIGURA 2. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog Figura tratta dal testo “ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA E APPLICAZIONI” di Giuliana Guglieri Sesti e Roberto Nardi, Le Monnier editore.

 Vediamo come tracciare la prima proiezione.

Viene disegnata la base pentagonale in vera grandezza (secondo il procedimento precedentemente descritto per la base del dodecaedro). Gli spigoli sono tutti in evidenza.

La piramide e il dodecaedro si devono compenetrare. Dunque occorrerà disegnare la base della piramide in prima proiezione in modo tale da sovrapporsi alla prima proiezione del dodecaedro.

Si riportano in seconda proiezione i punti della base, arrestando le rette di richiamo sulla linea di terra (poiché la base poggia sul π1, tali punti hanno quota 0). La retta di richiamo del vertice V in seconda proiezione dovrà avere invece una certa altezza rispetto alla linea di terra.

Gli spigoli in evidenza e gli spigoli nascosti sono quelli riportati in figura 2.

 FASE 3: ESECUZIONE DELLA COMPENETRAZIONE

Poiché a priori non sappiamo come i due solidi andranno a compenetrarsi, è bene –per prudenza- tracciare con un segno lieve anche quelle linee che altrimenti sarebbero in evidenza nelle due proiezioni: può darsi infatti che nel corso della compenetrazione uno dei due solidi le vada a coprire. Solo una volta eseguita l’intersezione sarà possibile determinare una volta per tutte cosa nel disegno è nascosto e cosa è visibile.

Vediamo come si esegue –in generale- una compenetrazione come questa (cioè una compenetrazione tra solidi a spigolo). 

Prima di tutto è necessario conoscere le basi del procedimento di intersezione, leggibili nel seguente file in pdf del sito internet “ALICE APPUNTI“.

http://aliceappunti.altervista.org/alterpages/files/INTERSEZIONESOLIDI.pdf

Note le basi del processo di compenetrazione, e cioè come determinare l’intersezione di una retta con un solido a spigolo, il procedimento da eseguire è esattamente lo stesso anche per due solidi: volta volta assumeremo che i loro lati siano rette che intersecano l’altro solido.

Cominciamo per esempio dalla piramide. Gli spigoli della piramide ed i suoi lati di base intersecano il dodecaedro, spezzandosi: questo è visibile sia dalla prima che dalla seconda proiezione.

Occorre determinare esattamente dove questi segmenti si spezzano. Il procedimento è quello descritto nel file del sito “ALICE APPUNTI” precedentemente indicato, a proposito della compenetrazione tra un solido e una retta:

http://aliceappunti.altervista.org/alterpages/files/INTERSEZIONESOLIDI.pdf

Si determinano così i punti di rottura dei lati della piramide con il dodecaedro, sia in prima che in seconda proiezione.

Uniamo in prima proiezione i punti di rottura ottenuti, e poi facciamo lo stesso in seconda. In un esercizio così complesso, però, ci accorgiamo subito che se unissimo tra loro i punti di rottura trovati sui lati della piramide, le sezioni di rottura ottenute verrebbero a trovarsi su differenti facce del dodecaedro, e questo è inammissibile: due punti di rottura possono essere uniti solo se fanno parte della medesima faccia del dodecaedro, in quanto ogni faccia ha differente inclinazione.

Occorre dunque trovare ulteriori “punti di rottura”, cioè quei punti dove i lati del dodecaedro si spezzano nella piramide. Per determinare questi punti il procedimento è identico a quello precedentemente utilizzato e descritto: si immagina di far passare per ciascun lato del dodecaedro un piano, la cui prima (o seconda) traccia coincide con quel particolare lato del dodecaedro in prima (o seconda) proiezione, e si individua dove esso interseca i lati della piramide. A quel punto si utilizza l’ormai noto procedimento che permette di determinare i punti di rottura di una retta con un solido. E’ quindi possibile completare il disegno, segnando le linee nascoste e le linee in evidenza.

DISEGNO TERMINATO

Alla pagina “SCHEMA COMPENETRAZIONE SOLIDI” è infine mostrato -attraverso disegni esplicativi che ne illustrano tutti i passaggi- come eseguire passo passo l’intero processo di compenetrazione qui appena descritto.

Alla pagina “INTERSEZIONE SOLIDI DI ROTAZIONE” è invece descritto ed illustrato passo passo come eseguire l’intersezione (o compenetrazione) tra un solido a spigolo ed un solido di rotazione (cilindro).


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