Intersezione solidi di rotazione

Alla pagina “COMPENETRAZIONE SOLIDI” della sezione di DISEGNO TECNICO del blog si descrive passo passo come eseguire un esercizio di compenetrazione tra due solidi a spigolo: un dodecaedro e una piramide.

Qui di seguito, si illustra invece passo passo come determinare la compenetrazione tra due solidi quando uno di essi sia di rotazione anzichè a spigolo. Nell’esempio proposto si utilizzerà -come solido di rotazione- un cilindro.

FASE 1:

Vengono assegnati un cilindro ed una piramide retta a base triangolare, disposti come mostrato in figura. Il cilindro e la piramide si compenetrano, perciò dobbiamo determinare quelle che vengono chiamate “sezioni di rottura” tra i due solidi.

Per come i due solidi sono disposti, l’unica faccia di cui occorre determinare la sezione di rottura è quella che nel disegno è indicata come faccia JVX della piramide.

Per poter risolvere l’esercizio, essendo i due solidi disposti perpendicolarmente ad entrambi i piani di proiezione, abbiamo bisogno di un terzo punto di vista: una terza proiezione che ci permetta di “dialogare” con le altre due. Si utilizza ad esempio la proiezione sul piano laterale π3.

SOLIDI DI ROTAZIONE - Fase 1. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
SOLIDI DI ROTAZIONE – Fase 1. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog

FASE 1 – ALTERNATIVA CON IL PIANO AUSILIARIO

In alternativa, anziché ricorrere al piano laterale π3 al fine di ottenere un “terzo punto di vista” dei solidi, è possibile utilizzare la tecnica del piano ausiliario. Questa tecnica prevede l’utilizzazione di un piano proiettante sul quale andare a rappresentare i nostri solidi. Il piano proiettante ausiliario fungerà cioè per noi da terzo piano di proiezione in alternativa al piano laterale π3.  Le due tecniche (piano laterale e piano ausiliario) sono comunque assolutamente equivalenti, e ci permettono di ottenere il medesimo risultato.

Se si desidera utilizzare la tecnica del piano ausiliario, si inizierà dunque col disegnare tale piano proiettante. Questo piano non sarà posizionato a caso: solitamente il piano ausiliario è infatti perpendicolare al piano orizzontale π1. La sua seconda traccia sarà pertanto perfettamente verticale, mentre la sua prima traccia sarà obliqua e tale da dipendere dalla disposizione dei solidi da rappresentare (es. parallela alla prima proiezione dell’asse del solido, parallela alla prima proiezione di uno dei lati del solido…ecc.). Nel nostro caso, data la particolare disposizione dei solidi rispetto ai piano di proiezione, l’unica possibile scelta è un piano ausiliario che abbia la prima traccia perpendicolare alla prima proiezione del lato JX della piramide.

Una volta tracciato il piano ausiliario, si procede a rappresentare i due solidi su di esso, come mostrato in figura.

SOLIDI DI ROTAZIONE PIANO AUSILIARIO - Fase 1. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
SOLIDI DI ROTAZIONE PIANO AUSILIARIO – Fase 1. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog

Fatto questo, per poter determinare la sezione di rottura lavoreremo proprio su questa proiezione ausiliaria.

FASE 2:

In seconda proiezione “ricaviamo” otto generatrici del cilindro, e le andiamo a ritrovare anche in prima e in terza proiezione

La compenetrazione sarà risolta quando avremo determinato dove si “spezzano” tali generatrici. 

SOLIDI DI ROTAZIONE- Fase 2. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
SOLIDI DI ROTAZIONE- Fase 2. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog

Il procedimento che permette di determinare dove si spezzano le generatrici del cilindro nella piramide è esattamente lo stesso utilizzato per determinare i punti di intersezione tra una retta e un solido spigolo. Tale costruzione è riportata in questo file del sito internet “ALICE APPUNTI“:

http://aliceappunti.altervista.org/alterpages/files/INTERSEZIONESOLIDI.pdf

FASE 2 – ALTERNATIVA CON IL PIANO AUSILIARIO

Trovate in  seconda proiezione le otto generatrici del cilindro, le andiamo a ritrovare anche in prima proiezione e nella proiezione ausiliaria, con un procedimento abbastanza semplice.

A questo punto, lavoriamo sulla proiezione ausiliaria. 

SOLIDI DI ROTAZIONE PIANO AUSILIARIO - Fase 2. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
SOLIDI DI ROTAZIONE PIANO AUSILIARIO – Fase 2. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog

FASE 3:

Non tutte le generatrici del cilindro si spezzano nella piramide: questo ce lo dicono la prima e la seconda proiezione. Le generatrici tra CG e AE, ad esempio, non sono coinvolte nella compenetrazione, come ci mostra la seconda proiezione. Esse si trovano infatti al di fuori della piramide.

Eliminate dunque quelle generatrici che certamente non si spezzano, cominciamo ad analizzare dove si spezzano le generatrici della parte inferiore del cilindro.

Come mostra la terza proiezione, il piano che immaginiamo di far passare per esse (e che sarà in questo caso un piano orizzontale) interseca la piramide in tre punti, che nell’esercizio sono cerchiati in rosso: un punto è su VJ, un punto è su VX e un punto è su VK.

“Ritroviamo” quegli stessi punti in seconda e in prima proiezione, come mostrato dalle frecce nel disegno. I tre punti vanno a generare una sezione triangolare in prima proiezione. Dove questa sezione interseca le generatrici considerate, là c’è il loro punto di rottura. Tali punti di rottura, facilmente trovati in prima proiezione, possono essere ritrovati anche in terza, come mostrato dalle frecce a lapis (i punti sono quelli contrassegnati da una ics blu).

SOLIDI DI ROTAZIONE - Fase 3a. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
SOLIDI DI ROTAZIONE – Fase 3a. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog

Si segue esattamente lo stesso procedimento anche per le generatrici della parte superiore del cilindro.

SOLIDI DI ROTAZIONE - Fase 3b. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
SOLIDI DI ROTAZIONE – Fase 3b. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog

FASE 3 – ALTERNATIVA CON IL PIANO AUSILIARIO

Lavoriamo sulla proiezione ausiliaria, in modo del tutto simile a quanto descritto anche nel metodo precedente.

Facciamo passare cioè per ciascuna generatrice del cilindro un piano. I punti dove ciascun piano interseca i lati o gli spigoli della piramide sono stati cerchiati in rosso nel disegno. Tali punti, trovati sulla proiezione ausiliaria, vengono riportati anche in prima proiezione sugli spigoli corrispondenti della piramide. La loro unione creerà una sezione di forma triangolare. Laddove essa interseca la generatrice del cilindro che abbiamo considerato, là tale generatrice si spezzerà.

SOLIDI DI ROTAZIONE PIANO AUSILIARIO - Fase 3. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
SOLIDI DI ROTAZIONE PIANO AUSILIARIO – Fase 3. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog

Si procede in modo analogo con tutte quante le generatrici del cilindro coinvolte nella compenetrazione.

FASE 4:

Unendo i punti di rottura così trovati, ecco che si determina la sezione di rottura cercata, visibile in prima e in terza proiezione (ma non in seconda).

SOLIDI DI ROTAZIONE- Fase 4. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
SOLIDI DI ROTAZIONE- Fase 4. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog

FASE 4 – ALTERNATIVA CON IL PIANO AUSILIARIO

Unendo i punti di rottura trovati come descritto nella fase 3, ecco che si determina la sezione di rottura cercata, visibile in prima proiezione. La proiezione ausiliaria ci mostra invece una sezione di rottura talmente distorta da poterla omettere. 

Nel disegno si riporta solo la sezione di rottura che concerne le generatrici superiori del cilindro, lasciando allo studente il compito di terminare l’esercizio. Sarà già possibile notare comunque che la sezione di rottura trovata con il metodo del piano ausiliario è la stessa trovata con la terza proiezione sul piano laterale.

SOLIDI DI ROTAZIONE PIANO AUSILIARIO - Fase 4. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
SOLIDI DI ROTAZIONE PIANO AUSILIARIO – Fase 4. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog

FASE 5 (FACOLTATIVA):

Al termine, si riporta un esempio di come realizzare l’ombra a 45° di tale esercizio e la visione prospettica con il metodo dell’omologia.

Il procedimento con cui trovare l’ombra (propria e portata) di un solido è illustrato e spiegato in questa pagina del sito internet “ALICE APPUNTI“:

http://www.aliceappunti.altervista.org/ombre.html

La compenetrazione tra i due solidi -in questo particolare caso- non va ad influire sul risultato finale.

SOLIDI DI ROTAZIONE - Fase 5b. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
SOLIDI DI ROTAZIONE – Fase 5a. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog

Il metodo dell’omologia è invece illustrato e spiegato in questa pagina del sito internet “ALICE APPUNTI“:

http://aliceappunti.altervista.org/prospettiva.html

(Fascicolo “METODO DELL’OMOLOGIA“)

In tale visione prospettica si è tralasciato di rappresentare l’intersezione dei due solidi. Il lato DH, per esempio, si spezzerà prima di raggiungere la faccia XVK della piramide, come ci mostrano anche le proiezioni ortogonali.

La visione prospettica -fornendo una visione tridimensionale- permette però di comprendere meglio come i due solidi andranno a compenetrarsi.

SOLIDI DI ROTAZIONE - Fase 5b. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
SOLIDI DI ROTAZIONE – Fase 5b. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog

ULTERIORE ESEMPIO:

Un ulteriore esempio di come determinare l’intersezione tra un solido di rotazione (cilindro) e un solido a spigolo (piramide) è fornito dall’esercizio qui di seguito proposto, nel quale quattro cilindretti identici sono posizionati all’interno di un tronco di piramide a base quadrata.

SOLIDI DI ROTAZIONE. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
SOLIDI DI ROTAZIONE- Ulteriore esempio. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog

Poichè la figura presenta una doppia simmetria, è possibile studiare cosa accade ad uno solo dei quattro cilindretti per determinare la sezione di rottura anche degli altri tre.

Ancora una volta risulta necessario l’utilizzo di una terza proiezione. Il procedimento che permette di determinare dove le generatrici dei cilindretti si spezzano è lo stesso illustrato precedentemente: le generatrici dei cilindri, in terza proiezione, intersecano il tronco di piramide in quattro punti (due spigoli e due lati di base), che possono essere facilmente ritrovati in prima e seconda proiezione.

Ritrovando tali punti in seconda proiezione, si ottiene una sezione di intersezione a forma di trapezio isoscele: laddove essa taglia le generatrici considerate, là è un punto di rottura.

L’unione dei vari punti di rottura permette di tracciare la sezione di rottura.

Ulteriori esercizi svolti sull’argomento possono essere tuttavia reperiti anche al fondo di questa pagina del sito internet “ALICE APPUNTI“, cliccando sull’icona in rosso:

http://aliceappunti.altervista.org/tavole-svolte.html


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