Ombra solidi su sfera

Alla pagina “OMBRE” della sezione di DISEGNO TECNICO del sito “ALICE APPUNTI” si è parlato di come determinare le ombre di due solidi e l’ombra di un solido sull’altro. La pagina è accessibile attraverso il sottostante link. 


In questa pagina si illustrerà invece come determinare l’ombra di un cono ed una sfera poggianti sul π1, e poi l’ombra che il primo solido getta sul secondo. Per semplicità scegliamo un raggio luminoso parallelo al secondo piano di proiezione.


FASE 1: DISEGNARE L’OMBRA DEL CONO

Per tracciare l’ombra del cono, è indispensabile conoscere almeno le basi della teoria delle ombre. In particolar modo come determinare l’ombra del punto. La spiegazione completa su come eseguire l’ombra del punto è riportata alla pagina del sito internet “ALICE APPUNTI” accessibile attraverso il sottostante linK.

Noti questi concetti di base, è possibile determinare l’ombra del cono (prima quella portata e poi quella propria).

Si determinano le ombre sul π1 e sul π2 del vertice V del cono. Da V1 (cioè dall’ombra di V sul piano di proiezione π1) si tracciano le rette tangenti alla prima proiezione della base del cono. La parte che si trova sul π1 è l’ombra cercata (prima proiezione dell’ombra portata del cono).

Nel nostro caso l’ombra del cono ricade tutta sul primo piano di proiezione. Quando il raggio luminoso è genericamente orientato, però, può accadere che essa ricada in parte sul primo piano di proiezione e in parte sul secondo. In quel caso si unisce V2 (cioè l’ombra di V sul piano di proiezione π2) ai punti dove l’ombra portata in prima proiezione incontra la linea di terra, determinando così l’ombra portata sul secondo piano di proiezione.

La linea separatrice (necessaria per tracciare l’ombra propria del solido) si trova come indicato in figura.

OMBRE – Ombra del cono. Clicca sull’immagine per vederla ingrandita!

FASE 2: DISEGNARE L’OMBRA DELLA SFERA

Scelto dunque un raggio luminoso parallelo al piano verticale, si potrà ricavare semplicemente anche l’ombra della sfera.

OMBRE – Ombra della sfera. Clicca sull’immagine per vederla ingrandita!

Se si fosse scelto un raggio luminoso “qualsiasi”, l’esercizio sarebbe diventato più complesso. In quel caso avremmo dovuto infatti ricorrere ad una terza proiezione ausiliaria che ci riportasse alla condizione di raggio parallelo al piano verticale.

Come determinare l’ombra di una sfera quando il raggio luminoso ha orientazione qualsiasi è comunque descritto alla pagina “OMBRA SFERA” di questo stesso blog. 

FASE 3: OMBRA CONO SULLA SFERA

Affinché il cono possa proiettare un’ombra sulla sfera, è necessario che -in prima proiezione- la sfera si trovi a ricadere dentro l’ombra portata del cono.

A questo punto si va a determinare l’ombra del cono sulla sfera. Per farlo, tracciamo a distanza a piacere due segmenti perpendicolari all’ombra delle due generatrici “esterne” del cono sul primo piano di proiezione. Questi due segmenti vanno a costituire due “linee di terra fittizie” (LT1 e LT2), che ci serviranno per trovare l’ombra del cono sulla sfera.

Da V’ si conducono due perpendicolari: una alla LT1 e una alla LT2. Si prolungano queste perpendicolari oltre LT1 ed LT2 per una quantità pari all’altezza del cono. Trovati in questo modo i vertici V’’’(1) e V’’’(2), si uniscono questi punti laddove le ombre delle generatrici del cono toccano le rispettive linee di terra fittizie.

Riportiamo anche la sfera su questa costruzione fittizia. Da O’ si tracciano cioè le perpendicolari ad LT1 e ad LT2, e le si prolungano per una quantità pari a quella del raggio della nostra sfera. Tracciamo le proiezioni “fittizie” della sfera. Il problema dell’ombra del cono sulla sfera si riduce adesso ad un problema di intersezione. L’argomento è stato affrontato alla pagina del sito internet ALICE APPUNTI accessibile attraverso il seguente link.

Riportiamo i punti di intersezione trovati sulla sfera in prima proiezione, attraverso rette di richiamo perpendicolari alle due linee di terra fittizie. I punti ottenuti ci servono per tracciare la prima proiezione dei due segmenti di ombra sulla sfera, attraverso la costruzione dell’ellisse.

Riportiamo il tutto in seconda proiezione come indicato nel disegno, aiutandoci anche con la “proiezione fittizia”, che ci fornisce le altezze.

L’intersezione fra le proiezioni delle ombre delle due generatrici del cono sulla sfera determina l’ombra del cono sulla sfera.

OMBRE- ombra del cono sulla sfera. Clicca sull’immagine per vederla ingrandita!

A semplice scopo informativo, si riportano qui tutti i passaggi che permettono di determinare l’ombra di un solido su una sfera precedentemente descritti. Stavolta il raggio luminoso è comunque orientato.