Ombre solidi

In questa pagina di DISEGNO TECNICO si illustra come eseguire l’ombra di due solidi in proiezioni ortogonali.

Si sceglie ad esempio di rappresentare un cono (o una piramide) ed una sfera poggianti sul π1, e di posizionare i due solidi in modo che il primo getti ombra sul secondo.

FASI DI LAVORO:

1) Ombra cono (poggiante sul piano π1)

2) Ombra sfera (poggiante sul piano π1)

3) Ombra del cono sulla sfera

FASE 1: DISEGNARE L’OMBRA DEL CONO

Si traccia la linea di terra, dividendo il foglio da disegno quasi a metà. Per questo esercizio si consiglia di utilizzare il foglio da disegno in posizione orizzontale e in modo tale che la prima proiezione abbia a disposizione più spazio della seconda.

Stabiliamo la direzione del raggio luminoso, orientato ad esempio come in figura 1.

OMBRE SOLIDI, FIGURA 1. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
OMBRE SOLIDI, FIGURA 1. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog

Disegniamo poi il cono in proiezioni ortogonali.

Per tracciare l’ombra del cono, è indispensabile conoscere almeno le basi della teoria delle ombre. In particolar modo come determinare l’ombra del punto.

La spiegazione completa su come eseguire l’ombra del punto è riportata a questa pagina del sito internet “ALICE APPUNTI“:

http://www.aliceappunti.altervista.org/ombre.html

(PRIMO FASCICOLO, punto 1: OMBRA DEL PUNTO).

Noti questi concetti di base, è possibile determinare l’ombra del cono (prima quella portata e poi quella propria). Il risultato finale sarà quello riportato nella figura 2.

OMBRE SOLIDI, FIGURA 2. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
OMBRE SOLIDI, FIGURA 2. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog

La spiegazione su come eseguire quest’ombra è qui di seguito riportata.

Si determinano le ombre sul π1 e sul π2 del vertice V del cono, proprio come spiegato a proposito dell’ombra del punto.

Da V1 (cioè dall’ombra di V sul piano di proiezione π1) si tracciano le rette tangenti alla prima proiezione della base del cono. La parte che si trova sul π1 è l’ombra cercata (prima proiezione dell’ombra portata del cono).

Si unisce V2 (cioè l’ombra di V sul piano di proiezione π2) con i punti 1 e 2 ottenuti (dove l’ombra portata in prima proiezione incontra la linea di terra), determinando l’ombra portata sul secondo piano di proiezione.

La linea separatrice (necessaria per tracciare l’ombra propria del solido) si determina come indicato nella figura 2.

Come si vede, nell’esempio della figura 2 l’ombra portata del cono è in parte sul primo e in parte sul secondo piano di proiezione. Volendo invece semplificare l’esercizio, possiamo fare in modo che l’ombra del cono ricada solo sul primo piano di proiezione.

Sarà sufficiente utilizzare un raggio luminoso che abbia una prima proiezione poco inclinata rispetto alla seconda. Per essere matematicamente sicuri che l’ombra portata stia tutta sul primo piano di proiezione, si potrà adottare un raggio luminoso parallelo al π2 (prima proiezione parallela alla linea di terra e seconda proiezione inclinata).

L’ombra portata del cono sarà in questo caso tutta sul primo piano di proiezione. Per ottenerla basta ancora una volta determinare V1 (ombra del vertice V sul primo piano di proiezione) e da esso tracciare le tangenti alla prima proiezione della base del cono. Non c’è ombra sul secondo piano di proiezione.

L’ombra propria sul cono (in prima e seconda proiezione) si otterrà nel medesimo modo descritto precedentemente.

FASE 2: DISEGNARE L’OMBRA DELLA SFERA

Scelto dunque un raggio luminoso parallelo al piano verticale, si potrà ricavare semplicemente anche l’ombra della sfera. Se infatti si fosse scelto un raggio luminoso “qualsiasi” l’esercizio sarebbe diventato più complesso: in quel caso avremmo dovuto infatti ricorrere ad una terza proiezione ausiliaria che ci riportasse alla condizione di raggio parallelo al piano verticale, come mostrato anche nel sito internet di “ALICE APPUNTI“.

Una breve descrizione -corredata di disegni esplicativi- su come si esegue l’ombra di una sfera quando il raggio luminoso ha orientazione qualsiasi è comunque riportata anche alla pagina “OMBRA SFERA” di questo stesso blog. 

L’esecuzione dell’ombra della sfera con raggio luminoso parallelo al piano verticale è invece riportata e spiegata brevemente nella sottostante figura 3.

OMBRE SOLIDI, FIGURA 3. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
OMBRE SOLIDI, FIGURA 3. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog Figura tratta dal testo “ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA E APPLICAZIONI” di Giuliana Guglieri Sesti e Roberto Nardi, Le Monnier editore.

Nell’esempio, però, la sfera non poggia sul piano π1, ma è invece poggiante su un piano ad esso parallelo (insomma possiede una certa quota). Sarà allora sufficiente tracciare la seconda proiezione sulla linea di terra, e seguire poi la costruzione indicata nell’esempio di figura 3.

Per tracciare l’ellisse che costituisce l’ombra portata della sfera sul primo piano di proiezione a partire dai quattro punti 1(1), 2(1), 3(1) e 4(1), e l’ellisse che va a delineare l’ombra propria (sempre in prima proiezione) a partire dai punti 1’, 2’, 3’ e 4’, si veda questo file in pdf del sito “ALICE APPUNTI“:

http://aliceappunti.altervista.org/alterpages/files/LESEZIONICONICHE.pdf

 (Punto 2: METODI DI COSTRUZIONE ELLISSE).

FASE 3: OMBRA CONO SULLA SFERA

Affinché il cono possa proiettare un’ombra sulla sfera, è necessario che -in prima proiezione- la sfera si trovi a ricadere dentro l’ombra portata del cono.

La costruzione che permette di determinare l’ombra del cono sulla sfera è esattamente identica a quella riportata nella figura 4. Nel disegno è riportata l’ombra di una piramide su una sfera, ma per il cono valgono esattamente gli stessi ragionamenti.

OMBRE SOLIDI, FIGURA 4. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
OMBRE SOLIDI, FIGURA 4. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog Figura tratta dal testo “ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA E APPLICAZIONI” di Giuliana Guglieri Sesti e Roberto Nardi, Le Monnier editore.

Allo stesso modo, il disegno dell’esempio è molto più complesso di quello proposto dall’esercizio qui trattato, in quanto il raggio luminoso ha direzione qualsiasi (nell’esercizio proposto si è invece detto che il raggio luminoso è parallelo al π2).

Ciò non toglie che il procedimento sia esattamente lo stesso.

Si passa a spiegare la figura 4, e per il cono andranno eseguiti esattamente gli stessi passaggi.

1) Si è determinata l’ombra portata della piramide e l’ombra portata della sfera (nella nostra tavola avremo invece l’ombra portata del cono e l’ombra portata della sfera).

2) Tracciamo –a distanza a piacere- due segmenti perpendicolari ad A1V1 e a C1V1. (Nella nostra tavola saranno invece due segmenti perpendicolari alle due linee che delimitano l’ombra del cono sul primo piano di proiezione). Questi due segmenti andranno a costituire due “linee di terra fittizie”, che ci serviranno per determinare l’ombra del cono sulla sfera. (Figura 4-A)

OMBRE SOLIDI, FIGURA 4-A. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
OMBRE SOLIDI, FIGURA 4-A. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog Figura tratta dal testo “ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA E APPLICAZIONI” di Giuliana Guglieri Sesti e Roberto Nardi, Le Monnier editore.

3) Da V’ si conducono due perpendicolari: una alla LT1 e una alla LT2. Si prolungano queste perpendicolari oltre LT1 ed LT2 per una quantità pari all’altezza della piramide (nella nostra tavola sarà l’altezza del cono): Figura 4-B.

OMBRE SOLIDI, FIGURA 4-B. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
OMBRE SOLIDI, FIGURA 4-B. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog Figura tratta dal testo “ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA E APPLICAZIONI” di Giuliana Guglieri Sesti e Roberto Nardi, Le Monnier editore.

4) Trovati in questo modo i vertici V’’’(1) e V’’’(2), si uniscono questi punti laddove le ombre C1V1 e A1V1 toccano le rispettive linee di terra fittizie (Figura 4-C).

OMBRE SOLIDI, FIGURA 4-C. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
OMBRE SOLIDI, FIGURA 4-C. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog Figura tratta dal testo “ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA E APPLICAZIONI” di Giuliana Guglieri Sesti e Roberto Nardi, Le Monnier editore.

5) Riportiamo anche la sfera su questa costruzione fittizia. Da O’ si tracciano le perpendicolari ad LT1 e ad LT2, e le si prolungano per una quantità pari a quella del raggio della nostra sfera. Tracciamo le proiezioni “fittizie” della sfera (Figura 4-D). Il problema dell’ombra della piramide (o nel nostro caso del cono) sulla sfera si riduce adesso ad un problema di intersezione.

OMBRE SOLIDI, FIGURA 4-D. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
OMBRE SOLIDI, FIGURA 4-D. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog Figura tratta dal testo “ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA E APPLICAZIONI” di Giuliana Guglieri Sesti e Roberto Nardi, Le Monnier editore.

6) Facciamo riferimento alla sola ombra di C1V1, in quanto appare un po’ più chiaramente nel disegno (per A1V1 il procedimento è comunque lo stesso).

La sfera e la piramide si intersecano in due punti. Determiniamo altri due punti di intersezione in corrispondenza della mezzeria del segmento che li unisce (Figura 4-E).

OMBRE SOLIDI, FIGURA 4-E. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
OMBRE SOLIDI, FIGURA 4-E. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog Figura tratta dal testo “ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA E APPLICAZIONI” di Giuliana Guglieri Sesti e Roberto Nardi, Le Monnier editore.

Riportiamo questi due punti sulla sfera in prima proiezione, attraverso una retta di richiamo (Figura 4-F).

OMBRE SOLIDI, FIGURA 4-F. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
OMBRE SOLIDI, FIGURA 4-F. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog Figura tratta dal testo “ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA E APPLICAZIONI” di Giuliana Guglieri Sesti e Roberto Nardi, Le Monnier editore.

Riportiamo gli altri due punti in prima proiezione, lungo un segmento perpendicolare a quello determinato dagli altri due punti sulla sfera (Figura 4-G).

OMBRE SOLIDI, FIGURA 4-G. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
OMBRE SOLIDI, FIGURA 4-G. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog Figura tratta dal testo “ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA E APPLICAZIONI” di Giuliana Guglieri Sesti e Roberto Nardi, Le Monnier editore.

Questi quattro punti ottenuti ci servono per tracciare la prima proiezione dell’ombra del segmento CV sulla sfera, attraverso la costruzione dell’ellisse che si è precedentemente illustrata.

7) Riportiamo il tutto in seconda proiezione come indicato nel disegno, aiutandosi anche con gli elementi della “proiezione fittizia”, che ci forniscono le altezze (Figura 4-H).

OMBRE SOLIDI, FIGURA 4-H. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
OMBRE SOLIDI, FIGURA 4-H. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog Figura tratta dal testo “ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA E APPLICAZIONI” di Giuliana Guglieri Sesti e Roberto Nardi, Le Monnier editore.

Gli ultimi due punti sono riportati su un segmento orizzontale passante per la mezzeria del primo asse dell’ellisse (Figura 4-I) Ancora una volta si tratta di tracciare un’ellisse dati i quattro punti principali.

OMBRE SOLIDI, FIGURA 4-I. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
OMBRE SOLIDI, FIGURA 4-I. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog Figura tratta dal testo “ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA E APPLICAZIONI” di Giuliana Guglieri Sesti e Roberto Nardi, Le Monnier editore.

I punti di intersezione fra le proiezioni delle ombre degli spigoli AV e CV sono le proiezioni dell’ombra del vertice.

Ulteriori dettagli sono poi visibili nella Figura 4.

DISEGNO TERMINATO

Alla paginaSCHEMA OMBRE SOLIDIè infine mostrato -attraverso disegni esplicativi che ne illustrano tutti i passaggi- come eseguire passo passo l’intero processo di determinazione delle ombre dei due solidi qui appena descritto.

Alla pagina “OMBRA SFERA” è invece descritto ed illustrato passo passo come eseguire l’ombra di una sfera quando il raggio luminoso -anzichè essere parallelo al secondo piano di proiezione- ha orientazione qualsiasi.


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