Ortodromia

In questa pagina di DISEGNO TECNICO si illustra come determinare l’ortodromia (la linea di minor distanza) tra due punti su una sfera. La definizione di ortodromia è riportata alla pagina del sito internet “ALICE APPUNTI“ dal titolo “ORTODROMIE E LOSSODROMIE“, accessibile attraverso il sottostante link.


FASE 1: DETERMINAZIONE DEL PIANO CHE GENERA L’ORTODROMIA

Vengono assegnati due punti (P e Q) appartenenti ad una sfera. Si vuole determinare l’ortodromia (cioè la linea di minor distanza) tra i due. 

Per determinare tale linea, occorre determinare la sezione sferica generata da un piano che passa per il centro della sfera (e che quindi genera una sezione sferica di cerchio massimo) e per i due punti assegnati.

Poichè per “dialogare” tra punti e piani occorre un interprete (rappresentato dalla retta), facciamo passare per il centro della sfera e per il punto P una retta r. Facciamo invece passare per il centro della sfera e per il punto Q una retta s.

Trovate le tracce delle due rette, determiniamo dunque il piano α che le contiene entrambe. Si sa che una retta appartiene ad un piano se le sue tracce appartengono alle tracce omonime del piano. Il piano che contiene le rette r ed s -per come le rette r ed s sono state costruite- è tale da passare per il centro della sfera, per il punto P e per il punto Q. E’ dunque il piano che determina la linea ortodromica cercata tra P e Q.

FASE 2: SEZIONE DELLA SFERA CON IL PIANO

Il problema si riduce allora a determinare la sezione della sfera con il piano α. Poichè non siamo in grado di lavorare su piani generici (quali il piano α), utilizziamo il piano ausiliario proiettante β. Costruiamo su di esso la terza proiezione della sfera tagliata dal piano.

Lavorando sulla prima e sulla terza proiezione ausiliaria, ecco che ci siamo riportati al caso di una sfera tagliata da un piano proiettante. Come determinare l’intersezione di una sfera con un piano proiettante è spiegato alla pagina del sito internet ALICE APPUNTI dal titolo “SEZIONE SFERA IN PROIEZIONI ORTOGONALI“, accessibile attraverso il sottostante link.

Si determina dunque la sezione della sfera in prima proiezione.

La sezione della sfera in seconda proiezione si determina dalla prima e dalla terza: la prima fornisce gli aggetti dei punti di sezione, mentre la terza le quote.

ORTODROMIA – determinazione dell’intersezione con il piano a. Clicca sull’immagine per vederla ingrandita!

FASE 3: DETERMINAZIONE DELL’ELLISSE DI ROTTURA PARTE DELL’ORTODROMIA

Trovati i punti di sezione in prima e in seconda proiezione, si determinano adesso le due ellissi di sezione con la costruzione dell’ellisse per otto punti.

La costruzione dell’ellisse per otto punti è riportata alla del sito internet “ALICE APPUNTI“ dal titolo “SEZIONI CONICHE IN PROIEZIONI ORTOGONALI“, accessibile attraverso il sottostante link.

ORTODROMIA – determinazione dell’ellisse di sezione. Clicca sull’immagine per vederla ingrandita!

Come si vede a costruzione ultimata, l’ellisse di sezione è tale da passare per il centro della sfera, per P e per Q. L’ortodromia è stata trovata.

ORTODROMIA - Fase 3
ORTODROMIA – Esercizio completato. Clicca sull’immagine per vederla ingrandita!