SEZIONI CONICHE in proiezioni ortogonali

A partire da questa lezione, parleremo delle “sezioni coniche” in proiezioni ortogonali. Cioè delle sezioni generate da un piano che interseca un cono.

CARATTERISTICHE GEOMETRICHE DEL CONO:

Il cono è un solido di rotazione. Cioè una superficie generata dalla rotazione a 360° di un triangolo rettangolo (i cui cateti misurano H ed r) attorno ad uno dei suoi lati. Questo lato prende il nome di asse o altezza del cono. L’ipotenusa del triangolo prende il nome di “generatrice o apotema” del cono. Quindi la superficie laterale del cono è composta da infinite rette generatrici. Il cono possiede anche una base (costituita da un cerchio) e una superficie laterale. La circonferenza di base è detta “curva direttrice”.

Caratteristiche geometriche del cono.
Caratteristiche geometriche del cono. Tratto da: “LINEE IMMAGINI”, di Franco Formisani. Loescher editore.

Se immaginiamo di tagliare la superficie laterale del cono lungo una sua generatrice e poi di svilupparla, si otterrà uno settore circolare come quello in figura. Il suo centro si trova in corrispondenza del vertice del cono. L’arco di circonferenza sarà lungo quanto la circonferenza di base. Il suo raggio è lungo invece quanto le generatrici.

Sviluppo della superficie laterale del cono.
Sviluppo della superficie laterale del cono.

DISPOSIZIONE DEL CONO NELLE SEZIONI CONICHE:

Negli esercizi relativi alle sezioni coniche, è molto raro che il solido sia disposto in modo obliquo rispetto ai piani di proiezione. Normalmente, infatti, lo si immagina sempre con la base poggiante sul P.O. e l’asse ad esso perpendicolare. Quindi anche noi supporremo sempre il cono disposto così.

I VARI TIPI DI SEZIONI CONICHE:

Di conseguenza, il tipo di sezione conica dipende soltanto dall’inclinazione del piano. Per la precisione, l’intersezione di un cono con un piano può dare origine a cinque differenti tipi di sezione: cerchio (o, se si allude solo al suo contorno, circonferenza), ellisse, parabola, iperbole e triangolo.

I differenti tipi di sezioni coniche: cerchio, ellisse, parabola, iperbole e triangolo.
I differenti tipi di sezioni coniche: cerchio, ellisse, parabola, iperbole e triangolo. Tratto da: “ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA”, di Giuliana Guglieri Sesti e Roberto Nardi. Le Monnier – Firenze editore.

Una sezione conica a forma di triangolo si forma in un solo caso, che solitamente è molto raro. E cioè quando il piano che interseca il cono (indipendentemente da quale sia la sua inclinazione rispetto ai piani di proiezione) passa per il suo vertice. E la sua determinazione è molto semplice, anzi elementare. I due punti di base del triangolo saranno infatti i punti in cui la prima traccia del piano taglia la circonferenza di base del cono. Punti che ritroviamo facilmente in seconda proiezione grazie a delle rette di richiamo. Il vertice del triangolo è invece, per definizione, il vertice del cono stesso.

Esempi di sezioni coniche a triangolo.
Esempi di sezioni coniche a triangolo.

Più difficile è invece la determinazione delle altre sezioni coniche.

ANALISI DELLE SEZIONI CONICHE:

Nelle prossime lezioni (presenti all’interno di questa sezione del blog), vedremo dunque in quali casi si ottengono gli altri tipi di sezione conica. Cioè quale inclinazione deve avere il piano di sezione. Assumeremo ogni volta che il piano secante non passi per il vertice del cono, naturalmente, perché in quel caso si otterrebbe, come abbiamo appena visto un triangolo.

In ciascun caso vedremo come determinare la sezione conica, come determinarne (se necessario) la vera grandezza, e come realizzare lo sviluppo del cono a sezione avvenuta.

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