Sezioni coniche

In questa pagina di DISEGNO TECNICO si illustra come eseguire un esercizio di determinazione di sezioni coniche.

Si sceglie ad esempio di determinare le due sezioni coniche generate da un prisma a base pentagonale poggiante sul π1 che interseca un cono.

FASI DI LAVORO:

1) Disegnare il primo solido (poggiante sul piano π1) e determinare le tracce dei piani che contengono le sue due facce coinvolte nella compenetrazione.

2) Ribaltamento dei piani in terza proiezione e realizzazione della compenetrazione (cioè determinazione delle due sezioni coniche).

3) (Eventuale) Sviluppo del cono e ribaltamento in vera grandezza delle due sezioni.

FASE 1: DISEGNARE IL PRIMO SOLIDO E DETERMINARE LE TRACCE DEI PIANI CONTENENTI LE SUE DUE FACCE

Si traccia la linea di terra, dividendo il foglio da disegno quasi a metà. 

Prima di tutto, disegniamo le proiezioni ortogonali del prisma.

Disegniamo un prisma che poggi sul piano π1, ma che allo stesso tempo sia ad esso obliquo. Questa costruzione può essere eseguita in più di un modo. Un metodo semplice e veloce è ad esempio quello illustrato nella figura 1 (si tralasci di guardare la terza proiezione).

SEZIONI CONICHE, FIGURA 1. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
SEZIONI CONICHE, FIGURA 1. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog. Figura tratta dal testo “GEOMETRIA DESCRITTIVA E SUE APPLICAZIONI” di Saverio Malara, Zanichelli editore.

Nella figura 1 si fa riferimento ad un prisma a base esagonale: noi avevamo supposto invece di utilizzare un prisma a base pentagonale. Il procedimento è però assolutamente identico.

Per tracciare il pentagono di base è sufficiente seguire passo passo la spiegazione riportata a questa pagina del sito internet “ALICE APPUNTI“:

http://www.aliceappunti.altervista.org/costruzioni-elementari.html

(paragrafo PENTAGONO, riquadro della costruzione data la circonferenza).

Una volta tracciato il prisma, vogliamo fare in modo che due delle sue facce intersechino un cono, generando così delle sezioni coniche. Prima di tracciare il cono è allora necessario determinare le tracce dei piani che contengono le due facce del prisma coinvolte nella compenetrazione.

Per farlo è sufficiente determinare le tracce delle rette che passano per almeno due dei lati delle due facce del prisma. Note tali tracce, il piano che contiene quella particolare faccia del prisma è quello le cui tracce (prima e seconda) passano/contengono le tracce (prima e seconda) delle rette considerate.

Questo passaggio, che può sembrare macchinoso detto a parole, risulterà invece assai più chiaro una volta che si sarà data un’occhiata ai disegni della pagina “SCHEMA SEZIONI CONICHE“, che illustrano come eseguire passo passo la tavola qui descritta.

FASE 2: RIBALTAMENTO DEI PIANI IN TERZA PROIEZIONE E REALIZZAZIONE DELLA COMPENETRAZIONE

Una volta determinate le tracce di questi due piani, ci si renderà subito conto che i piani ottenuti sono due piani generici. Per poter lavorare su questi piani abbiamo bisogno di utilizzare una “terza proiezione ausiliaria” che -per così dire- trasformerà i nostri piani generici in due piani proiettanti. La costruzione della terza proiezione ausiliaria che permette di “rendere proiettanti” i piani generici è stata già descritta nella pagina del blog dedicata alla realizzazione di solidi sul piano generico.

Anche questo passaggio, come il precedente, può sembrare macchinoso detto a parole, ma ancora una volta esso risulterà assai più chiaro una volta che si sarà data un’occhiata ai disegni della pagina “SCHEMA SEZIONI CONICHE“.

A questo punto si procede con il tracciare il cono. Le sue proiezioni ortogonali (prima e seconda) saranno come quelle riportate in figura 2.

SEZIONI CONICHE, FIGURA 2. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
SEZIONI CONICHE, FIGURA 2. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog Figura tratta dal testo “ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA E APPLICAZIONI” di Giuliana Guglieri Sesti e Roberto Nardi, Le Monnier editore.

Il cono e il prisma si devono compenetrare. Dunque occorrerà disegnare la base del cono in prima proiezione in modo tale da sovrapporsi alla prima proiezione del prisma e in modo che le due facce del prisma coinvolte nella compenetrazione generino due sezioni coniche precise. Ad esempio un’ellisse ed una parabola.

Per generare l’ellisse, occorrerà posizionare la base del cono in prima proiezione in modo tale che uno dei piani generici -resi però proiettanti grazie alla proiezione ausiliaria- ne tagli in terza proiezione tutte le generatrici.

Per far in modo che l’altro piano generi invece una parabola con il cono, occorrerà costruire il cono in terza proiezione facendo in modo non solo che non tutte le sue generatrici siano tagliate da questo piano, ma anche che la sua altezza sia tale che l’inclinazione di una generatrice del cono sia parallela al piano. 

La seconda proiezione si ricava di conseguenza dalla prima e dalla terza.

L’esercizio è a questo punto un problema di determinazione delle “sezioni coniche”.

RICAPITOLIAMO TUTTI I PASSAGGI FINORA:

1) Si determinano le tracce dei due piani contenenti le due facce che il prisma interseca con il cono.

2) Per trovare questi due piani (o meglio le loro tracce) è sufficiente trovare le tracce (sul primo e sul secondo piano di proiezione) delle rette che contengono i due spigoli non paralleli di ciascuna faccia del prisma.

3) A questo punto si sfruttano le regole dell’appartenenza: una retta appartiene ad un piano se ha le sue tracce su quelle omonime del piano.

4) Trovate le tracce di questi due piani, non resta che determinare le sezioni che questi piani generano con il cono. Il problema è però che i due piani trovati saranno dei piani generici, inclinati rispetto ad entrambi i piani di proiezione.

5) Attraverso un procedimento che dovrebbe essere ormai noto (vedi la pagina del sito internet “ALICE APPUNTI“: http://www.aliceappunti.altervista.org/proiezioni-ortogonali.html, paragrafo PIANO GENERICO) è possibile rendere proiettanti questi piani, e determinare su di essi le sezioni coniche.

6) E’ dopo aver reso proiettanti i due piani che si potrà costruire il cono in modo che una delle sue generatrici sia -in terza proiezione- parallela ad uno dei piani sezionanti (generando così una parabola).

Vediamo a questo punto come determinare le due sezioni coniche.

Le sezioni coniche sono spiegate nel dettaglio in questo file pdf del sito internet “ALICE APPUNTI“:

http://aliceappunti.altervista.org/alterpages/files/LESEZIONICONICHE.pdf

Occorrerà lavorare in prima e in terza proiezione. La seconda proiezione verrà invece determinata di conseguenza a queste.

Ovviamente si considereranno -per ciascuna sezione conica- solo le parti che si trovano sulle corrispondenti facce del prisma. L’esercizio termina stabilendo quali elementi della compenetrazione sono nascosti o in evidenza.

Un esempio di sezioni coniche terminate -relative però ad un diverso tipo di esercizio- è presente anche a questa pagina del sito internet “ALICE APPUNTI“:

http://www.aliceappunti.altervista.org/tavole-svolte.html

(Tavola 4: SEZIONI CONICHE)

FASE 3: SVILUPPO DEL CONO E RIBALTAMENTI IN VERA GRANDEZZA DELLE SEZIONI

Questa fase non è sempre richiesta in un esercizio sulle sezioni coniche. Essa è comunque illustrata nelle figure 3 e 4.

SEZIONI CONICHE, FIGURA 3. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
SEZIONI CONICHE, FIGURA 3. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog. Figura tratta dal testo “GEOMETRIA DESCRITTIVA E SUE APPLICAZIONI” di Saverio Malara, Zanichelli editore.
SEZIONI CONICHE, FIGURA 4. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
SEZIONI CONICHE, FIGURA 4. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog. Figura tratta dal testo “GEOMETRIA DESCRITTIVA E SUE APPLICAZIONI” di Saverio Malara, Zanichelli editore.

Negli esempi il ribaltamento in vera grandezza avviene sul π2.

Un esempio di ribaltamento sul π1 è riportato in figura 5. Come si vede il procedimento è pressoché lo stesso.

SEZIONI CONICHE, FIGURA 5. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog
SEZIONI CONICHE, FIGURA 5. Spiegazione completa su: www.aliceappunti.altervista.org/blog. Figura tratta dal testo “ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA E APPLICAZIONI” di Giuliana Guglieri Sesti e Roberto Nardi, Le Monnier editore.

Va da sè che, nell’eseguire il ribaltamento della sezione e lo sviluppo del cono con le linee di sezione, si considereranno solo quelle parti che sono effettivamente tagliate dalle facce del prisma. 

DISEGNO TERMINATO

Alla pagina “SCHEMA SEZIONI CONICHE” è infine mostrato -attraverso disegni esplicativi che ne illustrano tutti i passaggi- come eseguire passo passo l’intero processo di determinazione delle sezioni coniche qui appena descritto.


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