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COSTRUZIONI ELEMENTARI

PRIMA DI COMINCIARE LA TEORIA DELLA RAPPRESENTAZIONE, OCCORRE SAPERE COME COSTRUIRE ALCUNE FIGURE ELEMENTARI.

GLI ARGOMENTI QUI DI SEGUITO TRATTATI SONO NEL'ORDINE:

1) BISETTRICE DI UN ANGOLO;

2) ASSE DEL SEGMENTO;

3) CIRCONFERENZA PASSANTE PER TRE PUNTI;

4) CIRCONFERENZA TANGENTE A TRE RETTE;

5) RETTA TANGENTE DA UN PUNTO AD UNA CIRCONFERENZA;

6) SEZIONE AUREA DEL SEGMENTO;

7) POLIGONI REGOLARI:

Triangolo equilatero (dato il lato)

Esagono (data la circonferenza circoscritta)

Ottagono (data la circonferenza circoscritta e dato il lato)

Pentagono (data la circonferenza circoscritta e dato il lato)

Decagono (data la circonferenza circoscritta)

BISETTRICE DI UN ANGOLO

1)  PUNTANDO IL COMPASSO NEL VERTICE DELL'ANGOLO, CON APERTURA A PIACERE, SI TRACCIA UN ARCO CHE TAGLIA CIASCUNA DELLE DUE SEMIRETTE FORMANTI L'ANGOLO, NEI PUNTI 1 E 2.

2) PUNTANDO IN 1 CON APERTURA A PIACERE SI OTTIENE UN SECONDO ARCO.

3) PUNTANTO IN 2 CON APERTURA IDENTICA ALLA PRECEDENTE, SI OTTIENE UN TERZO ARCO.

4) I DUE PUNTI OTTENUTI DALL'INTERSEZIONE DI QUESTI ULTIMI DUE ARCHI APPARTENGONO ALLA BISETTRICE: QUESTO PERCHE' LA BISETTRICE DISTA UGUALMENTE DAI PUNTI 1 E 2. SI TRACCIA DUNQUE UNA LINEA PASSANTE PER IL VERTICE DELL'ANGOLO ED I DUE PUNTI DI INTERSEZIONE TROVATI.

 

P.S. SE L'ANGOLO DOVESSE AVERE IL VERTICE AL DI FUORI DEL FOGLIO DA DISEGNO, E' SUFFICIENTE DETERMINARE LA BISETTRICE DI UNA ANGOLO PIU' PICCOLO, CHE HA PER SEMIRETTE GENERATRICI DUE SEMIRETTE PARALLELE A QUELLE DELL'ANGOLO D'ORIGINE.

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ASSE DEL SEGMENTO

1) L'ASSE DI UN SEGMENTO E' UNA RETTA PERPENDICOLARE AL SEGMENTO NEL SUO PUNTO MEDIO.

2) PUNTANDO CON IL COMPASSO NELL'ESTREMO A DEL SEGMENTO CON APERTURA A PIACERE, E POI NELL'ESTREMO B CON LA MEDESIMA APERTURA, SI OTTENGONO DUE ARCHI CHE SI INTERSECANO IN DUE PUNTI.

3) L'ASSE DEL SEGMENTO PASSA PER QUESTI DUE PUNTI.

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CIRCONFERENZA PASSANTE PER TRE PUNTI

1) UNISCO I 3 PUNTI A,B E C IN MODO CHE ESSI FORMINO DUE SEGMENTI;

2) CON IL PROCEDIMENTO VISTO NEL PARAGRAFO PRECEDENTE, TRACCIO L'ASSE DI UNO DEI DUE SEGMENTI (AD ESEMPIO BC). ESSO E' IL LUOGO DEI PUNTI EQUIDISTANTI DA B E DA C, DUNQUE IL CENTRO DELLA CIRCONFERENZA DOVRA' STARE SU QUEST'ASSE.

3) TRACCIO ANCHE L'ASSE DI AB.

4) IL CENTRO O DELLA CIRCONFERENZA CERCATA DOVRA' STARE SU ENTRAMBI GLI ASSI, QUINDI ESSO E' IL PUNTO DI INCONTRO TRA L'ASSE DI BC E L'ASSE DI AB.

5) PUNTO IN O CON IL COMPASSO, CON APERTURA OA,OPPURE OB O OC, TRACCIANDO COSI' LA CIRCONFERENZA.

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CIRCONFERENZA TANGENTE A TRE RETTE

1) TRACCIATE LE TRE RETTE, ESSE SI TAGLIANO A VICENDA IN DUE PUNTI, CHE CHIAMIAMO 1 E 2.

2) DISEGNAMO (CON IL PROCEDIMENTO VISTO PRECEDENTEMENTE) LA BISETTRICE DELL'ANGOLO 1: ESSA E' IL LUOGO DEI PUNTI EQUIDISTANTI DALLE DUE RETTE CHE FORMANO L'ANGOLO. PER QUESTO IL CENTRO O DELLA CIRCONFERENZA CERCATA DOVRA' STARE SU DI ESSA.

3) SI DETERMINA ANCHE LA BISETTRICE DEL PUNTO 2. PER QUESTA BISETTRICE VALGONO ESATTAMENTE LE STESSE CONSIDERAZIONI.

4) LE DUE BISETTRICI SI INCONTRANO IN UN PUNTO: IL CENTRO O DELLA CIRCONFERENZA.

5) DA O TRACCIO UN SEGMENTO PERPENDICOLARE AD UNA QUALSIASI DELLE TRE RETTE: QUEL SEGMENTO E' IL RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA.

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RETTA TANGENTE DA UN PUNTO AD UNA CIRCONFERENZA

1) CHIAMATO O IL CENTRO DELLA CIRCONFERENZA, ED INDICATO CON P UN PUNTO ESTERNO AD ESSA, SI UNISCE O CON P.

2) PUNTANDO CON IL COMPASSO IN M -PUNTO MEDIO TRA O E P- TRACCIAMO UN CERCHIO DI RAGGIO OM.

3) DOVE QUESTA SECONDA CIRCONFERENZA TAGLIA LA PRIMA, LA' TROVEREMO I PUNTI A E B, CHE SONO I PUNTI DI TANGENZA CERCATI.

4) I SEGMENTI OA ED OB SARANNO PERPENDICOLARI RISPETTIVAMENTE AD AP E BP. INFATTI L'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA E' SEMPRE PARI ALLA META' DELL'ANGOLO AL CENTRO.

P.S. LA MEDESIMA COSTRUZIONE POTEVA ESSERE ESEGUITA ANCHE CON LA SQUADRA, MA QUANDO IL DISEGNO E' MOLTO GRANDE, E' POSSIBILE COMMETTERE ERRORI NEL TRACCIARE LE DUE TANGENTI.

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SEZIONE AUREA DEL SEGMENTO

 LA SEZIONE AUREA DI UN SEGMENTO E' QUELLA PARTE DI ESSO PROPORZIONALE AL SEGMENTO INTERO E ALLA PARTE RIMANENTE.

 IN ALTRE PAROLE, SE IL SEGMENTO INTERO VALE 1, E CON  x SI INDICA LA SUA SEZIONE AUREA, VALE CHE: 1: x = x : (1-x) 

 L'EQUAZIONE DIVIENE: x² + x -1 = 0. QUINDI x = (-1±√5)/2. POICHE' UNA SOLUZIONE NEGATIVA NON HA SENSO, NE RISULTA CHE  x = (√5-1)/2.

 POICHE' √5 E' UN NUMERO IRRAZIONALE, PER TRACCIARE IL SEGMENTO x SI RICORRE AD UNA SOLUZIONE "GRAFICA".

 

1) TRACCIO IL SEGMENTO AC, DI LUNGHEZZA PARI CONVENZIONALMENTE AD 2.  VOGLIO TROVARE LA SUA SEZIONE AUREA (CHE VALE √5-1).

2) DALL'ESTREMO C TRACCIO IL SEGMENTO OC, PERPENDICOLARE AD AC E TALE DA VALERE LA META'  (CIOE' 1).

3) PER IL TEOREMA DI PITAGORA OA = √(4+1) = √5

3) DA O TRACCIO UNA CIRCONFERENZA DI RAGGIO OC (CIOE' RAGGIO 1). TROVO IL PUNTO M SU OA. AM MISURA DUNQUE √5 -1. ESSO MISURA QUINDI QUANTO LA SEZIONE AUREA DI AC.

4) RIPORTO QUESTA MISURA SU AC CON IL COMPASSO: TROVO IL PUNTO S. AS E' LA SEZIONE AUREA DI AC.

5) SI PUO' CONCLUDERE CHE AC : AS = AS : SC.

 

P.S. SE VOLESSI INVECE IL SEGMENTO DI CUI AC E' SEZIONE AUREA, ESSO SAREBBE AN, OTTENUTO PROLUNGANDO OA FINO AD INCONTRARE LA CIRCONFERENZA DI CENTRO O.

AN VIENE INDICATO CON φ, ED HA VALORE: (√5-1). 

SE AC AVESSE VALORE 1, AVREMMO CHE φ = (√5-1)/2. 

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TRIANGOLO EQUILATERO

SI ESEGUE QUI DI SEGUITO LA COSTRZUIONE DATO IL LATO.

1) ASSEGNATO IL LATO AB, IL TERZO PUNTO DEL TRIANGOLO -IL PUNTO C- DEVE EQUIDISTARE DA A E DA B, E TANTO QUANTO A DISTA DA B E VICEVERSA.

2) PUNTANDO PRIMA IN A E POI IN B CON IL COMPASSO, CON APERTURA AB, OTTENGO DUE ARCHI.

3) I DUE ARCHI SI INTERSECANO IN UN PUNTO: IL PUNTO C.

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ESAGONO

1) DATA LA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA, IL LATO DELL'ESAGONO HA LA MISURA DEL RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA.

2)  E' SUFFICIENTE, UNA VOLTA TRACCIATO UNO DEI TANTI DIAMETRI POSSIBILI, RIPORTARE LA MISURA DEL RAGGIO SULLA CIRCONFERENZA.

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OTTAGONO

DATA LA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA:

 

1) E' SUFFICIENTE TRACCIARE SULLA CIRCONFERENZA DUE DIAMETRI PERPENDICOLARI TRA LORO E POI DETERMINARE LE BISETTRICI DEI QUATTRO ANGOLI AL CENTRO OTTENUTI.

2) QUESTO PERCHE' IL LATO DELL'OTTANGONO E' SOTTESO AD UN ANGOLO AL CENTRO DI 45°.

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POICHE' SPESSO E' UTILE COSTRUIRE L'OTTAGONO IN MODO CHE ESSO NON SIA DI PUNTA (COME INVECE RISULTA SE VIENE COSTRUITO CON IL METODO PRECEDENTE) ECCO QUI SI SEGUITO LA COSTRUZIONE DATO IL LATO:

 

1) SI SA CHE NELL'OTTAGONO REGOLARE, IL LATO E' SOTTESO AD UN ANGOLO AL CENTRO DELLA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA DI 45°. TROVANDO LA CIRCONFERENZA, E' POSSIBILE TRACCIARE L'OTTAGONO.

2) IL CENTRO O DELLA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA ALL'OTTAGONO STA SULL'ASSE DEL LATO AB ASSEGNATO. DETERMINO DUNQUE L'ASSE DI AB CON IL PROCEDEMENTO VISTO IN PRECEDENZA.

3) DA A E DA B MANDIAMO DUE RETTE A 45°. ESSE FORMANO, INDONTRANDOSI IN CORRISPONDENZA DELL'ASSE DI AB, UN ANGOLO DI 90°. CHIAMO 1 IL VERTICE DI QUEST'ANGOLO.

4) SI SA CHE UN ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA CHE SOTTENDE UNA CORDA E' SEMPRE PARI ALLA META' DELL'ANGOLO AL CENTRO CHE SOTTENDE LA MEDESIMA CORDA. QUINDI SE IMMAGINO CHE 1 SIA IL CENTRO DI UNA COIRCONFERENZA, E CHE A1B SIA IL SUO ANGOLO AL CENTRO CHE SOTTENDE LA CORDA AB, E' SUFFICIENTE TROVARE L'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA CHE SOTTENDE AB PER TROVARE UN ANGOLO DI 45°.

5) PUNTIAMO DUNQUE CON IL COMPASSO IN 1, CON APERTURA 1-B.

6) LA CIRCONFERENZA TAGLIA L'ASSE DI AB NEL PUNTO O, CENTRO DELLA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA ALL'OTTAGONO.

7) ESSA HA CENTRO IN O E RAGGIO OA OPPURE OB. OTTENUTA LA CIRCONFERENZA, SI RIPORTA SU DI ESSA LA MISURA DI AB.

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PENTAGONO

DATA LA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA:

 

1) TRACCIATO IL DIAMETRO ORIZZONTALE 1-2, SE NE TROVA IL PUNTO MEDIO, CHE CHIAMIAMO M.

2) TRACCIAMO ANCHE IL DIAMETRO VERTICALE E CHIAMIAMO A IL PUNTO PIU' IN ALTO.

3) PUNTIAMO CON IL COMPASSO IN M, CON RAGGIO AM. TROVIAMO COSI' IL PUNTO 3 SUL DIAMETRO 1-2.

4) PUNTANDO IN A CON IL COMPASSO, SI RIPORTA LA MISURA A-3 SULLA CIRCONFERENZA, TROVANDO COSI' IL PUNTO B.

5) SI RIPORTA LA MISURA AB SULLA CIRCONFERENZA.

 

P.S. NON ESISTE ALCUNA  LOGICA ALLA BASE DI QUESTO METODO.

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DATO IL LATO:

QUESTA COSTRUZIONE SI BASA SUL FATTO CHE, NEL PENTAGONO, IL LATO E' LA SEZIONE AUREA DELLA DIAGONALE. RISULTA QUINDI UTILE QUANTO SPIEGATO PRECEDENTEMENTE, RIGUARDO LA SEZIONE AUREA DI UN SEGMENTO.

 

1) VIENE ASSEGNATO IL LATO AB. LA  DIAGONALE AC DEL PENTAGONO DEVE RISPONDERE A DUE REQUISITI: IL LATO AB DEVE ESSERNE LA SEZIONE AUREA E AB=BC.

2) POICHE' IL PUNTO C DEVE DISTARE DAL PUNTO B TANTO QUANTO IL PUNTO A, PUNTANDO CON IL COMPASSO DI B (APERTURA AB) SI TRACCIA UNA SEMI-CIRCONFERENZA: IL PUNTO C DOVRA' STARE SU DI ESSA.

3) CON LA COSTRUZIONE VISTA PRECEDENTEMENTE, SI DETERMINA AH, IL SEGMENTO DI CUI AB E' SEZIONE AUREA. AH= AC, DUNQUE.

4) SI RIPORTA PERCIO', PUNTANDO CON IL COMPASSO IN A (APERTURA AH), LA MISURA DI AH = AC SULLA CIRCONFERENZA DISEGNATA PRIMA.

5) SI TROVA IL PUNTO C, CHE SODDISFA LE DUE CONDIZIONI DETTE IN PRECEDENZA. SI RIPETE IL PROCEDIMENTO PER TUTTI GLI ALTRI LATI.

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DECAGONO

DATA LA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA:

 

1) E' SUFFICIENTE SAPERE CHE NEL DECAGONO IL LATO E' LA SEZIONE AUREA DEL RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA.

2) DETERMINATA QUINDI LA SEZIONE AUREA DEL RAGGIO r, SI RIPORTA TALE MISURA SULLA CIRCONFERENZA CIRCONSCRITTA.

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