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MACCHINE E GRADI DI LIBERTA'

DEFINIZIONE:

Una macchina è un dispositivo che compie processi industriali.

TIPOLOGIE:

Le macchine si dividono in:
1) OPERATRICI (che trasformano il lavoro in energia);
2) MOTRICI (che trasformano l’energia in lavoro).

La meccanica applicata studia le macchine da un punto di vista:

1) CINEMATICO (spostamenti, velocità, accelerazioni…)
2) DINAMICO (relazioni tra le forze -o coppie- applicate e i movimenti del meccanismo). Lo studio “dinamico” può essere a sua volta DIRETTO (quando, noti i movimenti della macchina, occorre determinare le forze agenti su di essa) o INVERSO (quando, note le forze agenti sulla macchina, occorre determinarne i movimenti).

- ELEMENTI DELLA MACCHINA -

Nel piano, un corpo rigido può compiere solo 3 tipi di movimento: traslazione verticale, traslazione orizzontale e rotazione.

Si dice cioè che, in assenza di vincoli, un corpo rigido nel piano possiede 3 gradi di libertà (3gdl).

 

Ebbene, le macchine sono formate da corpi rigidi o flessibili, legati tra loro da “vincoli” detti COPPIE CINEMATICHE

Tra queste, le COPPIE INDIPENDENTI sono quelle che conferiscono un solo grado di libertà (es. cerniere), cioè rendono possibile un solo movimento del corpo rigido.

Queste coppie possono essere ROTOIDALI (se permettono all’elemento unicamente di ruotare,  come le cerniere) o PRISMATICHE (se permettono all’elemento unicamente di traslare, o in direzione verticale o in direzione orizzontale, come i cursori).
Nello spazio esistono anche le coppie ELICOIDALI (come le viti).

- CATENE CINEMATICHE -

Le catene cinematiche sono un insieme di corpi rigidi legati tra loro mediante vincoli (cioè coppie cinematiche).

Qui di seguito si vedrà come è possibile, assegnata una catena cinematica, calcolarne i GRADI DI LIBERTA’ (cioè i movimenti possibili alla struttura).

 

(Le figure relative a ciascun esempio descritto sono visibili attraverso il sottostante "slideshow"):

 

ESEMPIO 1: MANOVELLISMO DI SPINTA

Abbiamo due aste, unite tra loro tramite una coppia indipendente (una cerniera).

Un’altra coppia indipendente vincola la prima asta ad un telaio fisso, mentre una terza coppia indipendente vincola la seconda asta ad un pistone (o cursore) collegato al telaio fisso.

 

Già da una prima analisi della catena cinematica si può indovinare che la struttura può compiere un solo movimento: traslazione orizzontale tramite il pistone lungo il telaio.

 

Questa catena cinematica consta dunque di 4 elementi (perché telaio e pistone vengono inclusi nel conteggio): due aste, il telaio e il cursore.

I vincoli presenti sono invece: una prima cerniera (vincolo indipendente) che vincola l’asta 2 al telaio, una seconda cerniera (vincolo indipendente) che vincola l’asta 2 all’asta 3, una terza cerniera (vincolo indipendente) che vincola l’asta 3 al cursore ed un cursore (vincolo indipendente) che fa scorrere tutta la struttura.
 


Dicevamo che ciascun corpo rigido possiede, quando non è vincolato, 3 gdl: può traslare in direzione verticale, in direzione orizzontale e ruotare. Nel nostro caso, dunque, senza l’apporto dei vincoli si avrebbero 3 x 4 = 12 gdl.
Quando tuttavia il sistema è vincolato –come nel nostro caso- questi gradi di libertà di partenza diminuiscono, giacchè si impediscono certi movimenti del sistema.
Quando un sistema è vincolato, dunque, i gdl possibili sono 3(n-1). Nel nostro caso 3 x (4-1) = 9.

Ai grado di libertà del sistema vanno sottratti quelli non permessi dai vincoli, secondo questa formula: -[2C2 +C1] . Spieghiamola.
C2 rappresenta il numero di vincoli che tolgono al sistema due gradi di libertà. In precedenza questi particolari vincoli sono stati chiamati “vincoli indipendenti”. Poiché ognuno di essi toglie due gradi di libertà, si spiega il coefficiente 2 davanti a  C2.
C1 rappresenta invece il numero di vincoli che tolgono al sistema un solo grado di libertà.
Ai gradi di libertà del sistema vanno dunque sottratti i movimenti impediti dai vincoli, dati dal numero totale dei vincoli ognuno moltiplicato per i gdl che toglie.

 

Tornando al nostro caso, abbiamo: 3(n-1) - [2C2 +C1] = 3 x 3 – (2 x 4 + 1 x 0) = 9 –8 = 1.

ESEMPIO 2: QUADRILATERO ARTICOLATO

Abbiamo tre aste e un telaio piano, uniti tra loro tramite 4 cerniere.

Dunque: 3(n-1) - [2C2 +C1] = 3 x (4-1) – (2 x 4 + 1 x 0) = 9 –8 = 1.

ESEMPIO 3:

Abbiamo innanzi tutto un primo elemento-telaio, che dovremo annoverare tra gli elementi della catena cinematica. Un’asta è vincolata ad esso tramite cerniera. Quest’asta  è unita poi ad una seconda tramite cerniera. Alla fine della seconda asta vi è un elemento che scorre tra due collari. Infine c’è un elemento rotondo che consiste in un vincolo rotoidale (una ruota, che può ruotare su se stessa e spostarsi orizzontalmente).

CONCLUSIONE:

In questa catena cinematica sono presenti 5 corpi rigidi (primo elemento, due aste, elemento tra i cursori, elemento rotante), 5 vincoli che tolgono due gradi di libertà ciascuno (3 cerniere  + 2  guide) e 1 vincolo che toglie un grado di libertà (permette rotazione e traslazione).

Abbiamo dunque: 3(n-1) - [2C2 +C1] = 3 x (5-1) – (2 x 5 + 1 x 1) = 12 – 11 = 1.

ESEMPIO 4:

In questa catena cinematica sono presenti 7 corpi rigidi (elemento-telaio, due aste, elemento orizzontale, due aste, cursore) e 8 coppie indipendenti (3 cerniere- di cui una connessa all'elemento-telaio, 2 guide, 2 cerniere, 1 cursore su cui l’asta è vincolata).

Abbiamo dunque: 3(n-1) - [2C2 +C1] = 3 x (7-1) – (2 x 8 + 1 x 0) = 18-16 = 2.