Crea sito

POLIEDRI REGOLARI

I poliedri regolari hanno lati, facce ed angoloidi uguali. Inoltre sono inscrivibili e circoscrivibili a sfere concentriche.

Questo fa sì che ne esistano solo cinque: infatti per formare un angolo solido sono necessarie almeno tre facce concorrenti nel vertice, e la somma degli angoli adiacenti non può essere superiore a 360°.

Per queste ragioni i poligoni regolari che possono costituire le facce di un poliedro regolare sono esclusivamente il triangolo (con un massimo di 5 facce in un vertice), il quadrato e il pentagono ( con un massimo di 3 facce in un vertice).

Qui di seguito si dà solo un breve elenco di questi cinque poliedri regolari e si analizza come rappresentarli in proiezioni ortogonali.

TETRAEDRO:

Il tetraedro è costituito da quattro facce triangolari equilatere. E' in sostanza una piramide a base triangolare. Costruirla in proiezioni ortogonali è piuttosto semplice.

Immaginiamo che il tetraedro poggi sul P.O.

1) La prima proiezione coicide con la base triangolare stessa, nella quale le altezze sono gli spigoli del poliedro.

2) Più complesso è invece determinare la seconda proiezione, in quanto non si conosce l'altezza del vertice. Si ricorre allora ad una proiezione ausiliaria.

3) Chiamiamo V il vertice del tetraedro. Posizionando la base in modo che in prima proiezione il triangolo rettangolo di base "guardi in giù", cioè in modo che il vertice sia rivolto verso il basso, chiamiamo A questo vertice, mentre indichiamo con le lettere B e C i due vertici adiacenti alla base.

4) Puntanto con il compasso nel vertice V', con aperture V'-B' oppure V'-C', si raddrizza lo spigolo. L'intersezione di quest'arco di circonferenza con la retta orizzontale condotta da V' determina il punto V'''. Il cateto V'-V''' del triangolo rettangolo A'-V'-V''' così ottenuto è pari all'latezza del tetraedro. Riportiamo dunque tale grandezza in seconda proiezione. 

 

SFERA CIRCOSCRITTA AL TETRADRO:

1) Il problema, per costruire la circonferenza che è proiezione ortogonale della sfera, risiede nella seconda proiezione. E' dunque su quella che occorre ragionare per eseguire questa costruzione.

2) La sfera, in seconda proiezione, passa per V", tuttavia non se e conosce il raggio.

3) Per andare avanti è opportuno utilizzare la costruzione della circonferenza passante per tre punti: facendo riferimento alla costruzione delle proiezioni ortogonali del tetraedro (di cui sopra), tracciamo l'asse del segmento A'-V'''. Dove quest'asse tocca l'asse del segmento V'-V''', la si trova un punto P. P'-V' è dunque il raggio della sfera cercata.

4) Trovato il raggio, lo si riporta in seconda proiezione, a partire da A''.

ESAEDRO:

L'esadero altro non è che il cubo, costituito da sei facce quadrate.

OTTAEDRO:

L'ottaedro è una bi-piramide con otto facce triaingolari, quattro per ogni vertice. Ciascun angolo solido ha un ampiezza di 240° (quattro angoli da 60°).

La sua prima proiezione ortogonale è un quadrato, le cui diagonali sono le proiezioni degli spigoli concorrenti nel vertice superiore.

In seconda proiezione, l'altezza è pari alla misura delle diagonali in prima proiezione.

DODECAEDRO:

Il dodecaedro è formato da dodici facce pentagonali parallele a due a due, con le facce di ogni coppia ruotate di 180°.

La prima proiezione di costruisce a partire da un pentagono (la base che poggia sul P.O.) dai cui vertici partono gli spigoli radiali comuni tra le facce inclinate adiacenti. Occorre far in modo che la misura della digonale orizzontale misurata sulla prima faccia disegnata sia la stessa anche per le altre.

Nella seconda proiezione, invece, l'altezza dei vari vertici può essere determinata una volta disegnata la prima proiezione: una prima altezza è pari alla distanza, nel pentagono di base, tra un suo vertice ed il centro del poligono; una seconda altezza (maggiore della prima) è pari invece alla distanza tra il centro del poligono di base ed uno qualsiasi dei vertici più esterni (cioè è pari al raggio della circonferenza circoscritta al solido, disegnata in prima proiezione)

In ogni angolo solido concorrono 3 facce pentagonali. Ogni angolo del pentagono misura 108°, quindi gli angoli solidi misurano nel dodecaedro 324°.

ICOSAEDRO:

L'icosaedro è costituito da venti facce triangolari equilatere, cinque concorrenti in ogni vertice.

In prima proiezione le cinque facce superiori definiscono un pentagono, e le dieci laterali sono contenute tra il perimetro di questo e il decagono circoscritto.

In seconda proiezione, invece, l'altezza delle due piramidi pentagonali è pari al lato del decagono circoscritto. L'altezza della "zona centrale", invece, è pari al raggio della circonferenza circoscirtta in prima proiezione.

DUALITA':

I poliedri regolari godono di questa proprietà.

L'esaedro è infatti il duale dell'ottaedro (l'uno può essere ottenuto dall'altro, permutando il piano di ciascuna faccia con il punto centrale della faccia stessa).

Allo stesso modo sono duali anche il dodecaedro e l'icosaedro.

Il tetraedro è invece il duale di se stesso.

P.S.

Si tralascia di parlare delle APPLICAZIONI STRUTTURALI DELLA GEOMETRIA DEI POLIEDRI (come le CURVE DI FULLER) o dei POLIEDRI SEMI-REGOLARI  (SOLIDI ARCHIMEDEI) .