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PROIEZIONI ORTOGONALI

LE PROIEZIONI ORTOGONALI SI BASANO SULL'IMPIEGO DI  PIANI DI PROIEZIONE PERPENDICOLARI FRA LORO, SUI QUALI VENGONO INVIATI RAGGI PROIETTANTI PARALLELI.

QUESTE PROIEZIONI PERMETTONO DI RAPPRESENTARE GLI OGGETTI MANTENENDO INVARIATE LE LORO CARATTERISTICHE GEOMETRICHE E LE RISPETTIVE PROPORZIONI.

I PIANI DI PROIEZIONE SONO IN GENERE DUE (RARAMENTE TRE). SU CIASCUNO VIENE PROIETTATO L'OGGETTO.  ESSI VENGONO CHIAMATI:

1) P.O. (PIANO ORIZZONTALE) O π1

2) P.V. (PIANO VERTICALE) O π2

3) IL TERZO PIANO - EVENTUALE- E' CHIAMATO P.L. (PIANO LATERALE) O π3.

I DUE PIANI  π1 E π2 SI INCONTRANO LUNGO UNA LINEA, DETTA "LINEA DI TERRA" (L.T).

I 4 DIEDRI:

PER  RAPPRESENTARE UN PUNTO IN PROIEZIONI ORTGONALI, SI IMMAGINA SI MANDARE DA ESSO DEI RAGGI PROIETTANTI, PERPENDICOLARI AI DUE PIANI DI PROIEZIONE. IL PUNTO D'INCONTRO DEL RAGGIO CON IL PIANO DI PROIEZIONE, DEFINISCE LA PROIEZIONE ORTOGONALE DEL PUNTO SU QUEL PIANO.

AVREMO DUNQUE DUE PROIEZIONI DEL PUNTO: UNA SUL P.O. ED UNA SUL P.V.

GRAZIE ALLE DUE PROIEZIONI, LA POSIZIONE DEL PUNTO NELLO SPAZIO E' PERFETTAMENTE DEFINITA.

 

I DUE PIANI PERPENDICOLARI TRA LORO SI INCONTRANO LUNGO LA LINEA DI TERRA, E DIVIDONO LO SPAZIO IN QUATTRO "SETTORI", DETTI  DIEDRI RETTI. TALI DIEDRI SONO CHIAMATI I,II,III E IV, E VENGONO INDICATI IN SENSO ANTIORARIO.

IL P.O E IL P.V SONO A LORO VOLTA DIVISI DALLA LINEA DI TERRA IN DUE SEMIPIANI, PER UN TOTALE DI QUATTRO SEMIPIANI.

1) IL SEMIPIANO VERTICALE AL DI SOPRA DELLA LINEA DI TERRA E' POSITIVO, MENTRE QUELLO AL DI SOTTO E' NEGATIVO.

2) IL SEMIPIANO ORIZZONTALE A DESTRA (O DAVANTI) DELLA LINEA DI TERRA E' POSITIVO, MENTRE QUELLO A SINISTRA (OPPURE DIETRO) E' NEGATIVO.

 

SE SI IMMAGINA DI RUOTARE I DUE PIANI DI PROIEZIONE, IN MODO CHE IL SEMIPIANO ORIZZONTALE POSITIVO COMBACI CON IL SEMIPIANO VERTICALE NAGATIVO, E IN MODO CHE IL SEMIPIANO ORIZZONTALE NEGATIVO COMBACI CON IL SEMIPIANO VERTICALE POSITIVO, IL P.O E IL P.V. VENGONO COSI' A TROVARSI SU UN UNICO PIANO (IL FOGLIO DA DISEGNO), DIVISO IN DUE PARTI DALLA LINEA DI TERRA.

 

AL DI SOPRA DELLA LINEA DI TERRA SI TROVANO DUNQUE IL SEMIPIANO ORIZZONTALE NEGATIVO E IL SEMIPIANO VERTICALE POSITIVO. 

AL DI SOTTO DELLA LINEA DI TERRA SI TROVANO INVECE IL SEMIPIANO ORIZZONTALE POSITIVO E IL SEMIPIANO VERTICALE NEGATIVO.

CLICCA SULL'IMMAGINE PER INGRANDIRLA

IL PROGRAMMA DI DISEGNO TECNICO DEDICATO ALLE PROIEZIONI ORTOGONALI SI COMPONE GENERALMENTE DEI SEGUENTI ARGOMENTI:

1) RAPPRESENTAZIONE DI PUNTO, RETTA E PIANO;

2) RELAZIONI TRA PUNTO, RETTA E PIANO:

Appartenenza

Parallelismo

Complanarità

Intersezione

Perpendicolarità

Distanza

3) SOLIDI A SPIGOLO:

Rappresentazione

Operazioni con il piano proiettante

Operazioni con il piano generico

Compenetrazione

4) SOLIDI DI ROTAZIONE:

Sezioni coniche: ellisse, parabola ed iperbole

Rappresentazione di cilindro e sfera

Sezioni di cilindro e sfera con i piani

Compenetrazione tra solidi di rotazione

5) ORTODROMIE E LOSSODROMIE

 

P.S.

IN QUESTA SEDE NON TUTTI GLI ARGOMENTI QUI SOPRA INDICATI SARANNO AFFRONTATI COMPIUTAMENTE.

LE QUESTIONI PIU' SEMPLICI VERRANNO INFATTI BREVEMENTE DESCRITTE, MENTRE LE SPIEGAZIONI PIU' ACCURATE, LE DESCRIZIONI E GLI APPUNTI IN PDF SARANNO DEDICATI PRINCIPALMENTE ALLE QUESTIONI PIU' COMPLESSE

PER SCARICARE GRATUITAMENTE IL MATERIALE CONTENENTE GLI APPUNTI E LE SPIEGAZIONI DI QUESTI ARGOMENTI PIU' COMPLESSI, E' SUFFICIENTE CLICCARE SULLA PAROLE CALDE RIPORTATE QUI SOTTO, A SEGUITO DEI VARI TITOLI.

IL PUNTO:

Il punto viene indicato con una lettera maiuscola dell'alfabeto.

Le sue proiezioni sui due piani P.O. e P.V. corrispondo al piede della perpendicolare condotta dal punto ai piani stessi di proiezione.

Queste sue due proiezioni sono sempre allineate secondo una retta, detta "retta di richiamo".

Per definire con esattezza la posizione di un punto nello spazio sono necessarie entrambe le sue proiezioni: la proiezione sul P.O. definisce l' "aggetto" del punto, mentre la sua proiezione sul P.V. definisce "l'altezza" o "quota".

 

Nei quattro diedri:

1) Un punto che si trova nel primo diedro ha aggetto e quota positivi: la sua prima proiezione (sul P.O) si trova sotto la linea di terra, mentre la sua seconda proiezione (sul P.V) si trova al di sopra.

2) Un punto che si trova nel secondo diedro ha aggetto negativo e quota positiva: la sua prima proiezione (sul P.O) si trova sopra la linea di terra, come pure la sua seconda proiezione (sul P.V).

3) Un punto che si trova nel terzo diedro ha aggetto e quota negativi: la sua prima proiezione (sul P.O) si trova sopra la linea di terra, mentre la sua seconda proiezione (sul P.V) si trova al di sotto.

4) Un punto che si trova nel quarto diedro ha aggetto positivo e quota negativa: la sua prima proiezione (sul P.O) si trova sotto la linea di terra, come pure la sua seconda proiezione (sul P.V).

 

N.B.

Un punto che giace sul piano orizzontale (positivo o negativo) avrà quota nulla (e quindi la sua seconda proiezione si troverà sulla linea di terra), ed un punto che giace sul piano verticale (positivo o negativo) avrà aggetto nullo (e quindi la sua prima proiezione si troverà sulla linea di terra).

 

RAPPRESENTAZIONE DEL PUNTO CON UN TERZO PIANO DI PROIEZIONE:

Visualizzando il file qui di seguito riportato, troverete la spiegazione di come si rappresenta, in proiezioni ortogonali, un punto anche sul terzo piano di proiezione (P.L.)

LA RETTA:

La retta viene indicata con una lettera minuscola dell'alfabeto.

Viene rappresentata, in proiezioni ortogonali, attraverso le sue proiezioni e le sue "tracce", che sono i punti in cui essa incontra i piani di proiezione.

La prima traccia T1 (o traccia orizzontale) è quella in cui la retta taglia il P.O. La seconda traccia T2 (o traccia verticale) è invece quella in cui la retta taglia il P.V.

 

Conoscendo le due tracce T1 e T2 della retta è possibile trovare le sue proiezioni, e viceversa.

Nel primo caso basta condurre le perpendicolari da T1 e T2 alla linea di terra, determinando T"1 e T'2. Congiungendo T"1 con T2 e T'2 con T1 si ottengono le proiezioni r" ed r' della retta.
 

Nel secondo caso, invece, T1 e T2 sono ottenute prolungando le due proiezioni r" ed r' fino ad incontrare la linea di terra. Il prolungamento della seconda proiezione determina T"1, mentre il prulungamento della prima determina T'2.  Conducendo da T"1 e T'2 le perpendicolari alla linea di terra fino ad incontrare le proiezioni r" ed r' della retta, ecco che si trovano le due tracce T1 e T2.

 

Nei quattro diedri: 

 1) Una retta che ha le tracce nel primo diedro ha la sua prima proiezione (sul P.O) sotto la linea di terra, mentre la sua seconda proiezione (sul P.V) si trova al di sopra.

2) Una retta che ha le tracce nel secondo diedro ha la sua prima proiezione (sul P.O) sopra la linea di terra, come pure la sua seconda proiezione (sul P.V).

3) Una retta che ha le tracce nel terzo diedro ha la sua prima proiezione (sul P.O) sopra la linea di terra, mentre la sua seconda proiezione (sul P.V) si trova al di sotto.

4) Una retta che ha le tracce nel quarto diedro ha la sua prima proiezione (sul P.O) sotto la linea di terra, come pure la sua seconda proiezione (sul P.V).

 

N.B. CASI PARTICOLARI

1) Una retta che taglia i piani lungo la linea di terra ha le tracce T1 e T2 coincidenti, e situate sulla linea di terra.

2) Una retta parallela al P.O o al P.V. ha una unica traccia: T2 nel primo caso, T1 nel secondo caso. Se parallela al P.O. la sua seconda proiezione sarà perfettamente orizzontale. Se parallela al P.V. sarà la sua prima proiezione ad essere perfettamente orizzontale.

3) Se una retta è parallela ad un piano di proiezione e perpendicolare all'altro, avrà un'unica traccia nel piano ad essa perpendicolare. La sua proiezione sul piano parallelo sarà perfettamente verticale e quella sul piano perpendicolare sarà un punto: la traccia della retta.

4) Una retta parallela ad entrambi i piani di proiezione non ha tracce. le sue due proiezioni sono perfettamente orizzontali.

5) Una retta che si trova su un piano perpendicolare ad entrambi i piani di proeizione (come può essere ad esempio P.L.)  ha un'unica traccia sul P.O. o sul P.V. e sue due proiezioni sono perfettamente verticali.

 

PROPRIETA' DELLE RETTE:

Due retta sullo stesso piano sono PARALLELE quando non hanno punti in comunue. Le loro proiezioni omonime risultano essere parallele.

Due rette si dicono SGHEMBE quando non appartengono allo stesso piano. I punti di incontro tra le loro proiezioni omonime non sono situati lungo la medesima retta di richiamo.

Due rette si dicono INCIDENTI quando hanno un punto in comunue: i punti di incontro tra le loro proiezioni omonime si trovano sulla stessa retta di richiamo.

IL PIANO:

Il piano viene indicato con una lettera minuscola dell'alfabeto greco.

In proiezioni ortogonali, viene rappresentato mediante le sue tracce, che sono le rette di intersezione con i piani di proiezione.

Il piano può essere di due tipi, a seconda della sua giacitura rispetto ai piani di proiezione:

1) GENERICO: se si presenta in maniera qualsiasi rispetto ai piani di proiezione;

2) PROIETTANTE (O AUSILIARIO): quando è perpendicolare ad uno dei piani di proiezione. In quel caso il piano ha una traccia rappresentata una linea verticale su un piano ed una "inclinata" sul piano a cui è perpendicolare. Le due tracce del piano nello spazio formano un angolo retto.

 

CASI PARTICOLARI:

1) Un piano parallelo ad uno dei piani di proiezione ha una sola traccia, che si presenta come una linea orizzontale;

2) Un piano perpendicolare ad entrambi i piani di proiezione (come ad esempio L.T.)  ha due tracce perfettamente verticali;

3) Un piano che taglia gli assi in corrispondenza della linea di terra ha le due tracce coincidenti, e corripondenti alla linea di terra stessa.

APPARTENENZA:

1) PUNTO E RETTA: Un punto appartiene ad una retta quando le sue proiezioni si trovano sulle proiezioni omonime della retta;

2) RETTA-PIANO: Una retta appartiene ad un piano se ha le sue tracce su quelle omonime del piano.

Se però la retta in questione è orizzontale o frontale (e quindi parallela ad uno dei piani di proiezione), essa appartiene al piano se la sua unica traccia sta sulla proiezione omonima del piano, e l'altra sua proiezione (quella obliqua) è invece parallela all'altra traccia omonima del piano.

3) PUNTO-PIANO: Un punto appartiene ad un piano se appartiene ad una retta del piano.

 

ESERCIZIO:

"Trovare le tracce di un piano passante per una retta ed un punto P fuori di essa"

Una volta tracciata la retta (dopo averne determinato le tracce) e il punto esterno ad essa, è sufficiente tracciare una retta parallela a quella assegnata e tale da contenere le proiezioni del punto (cioè tale che il punto le appartenga). Questa seconda retta, in realtà, può anche essere generica, ma il disegnarla parallela alla prima (cioè con le proiezioni parallele a quelle della prima retta) rende il secondo passaggio qui sotto descritto più semplice.

Una volta fatto questo occorre determinare il piano che contiene le due rette, cioè tale che le sue tracce contengano le tracce omonime delle due rette in questione. 

 

ESERCIZIO:

"Date le proeizioni di una figura piana, determinare le tracce del piano che la contiene"

Una volta tracciata la figura piana in prima e seconda proiezione, si determinano le rette che contengono i suoi vertici. L'esercizio è quello di trovare delle rette che contengano a due a due i vertici assegnati.

Determinate le rette, se ne ricavano le tracce, con il metodo descritto in precedenza.

Il piano che contiene la figura geometrica dovrà essere tale che le sue tracce contengano quelle di ciascuna retta.

 

ESERCIZIO:

"Determinare un punto che appartiene ad una superficie sferica"

(LA SOLUZIONE DELL'ESERCIZIO E' RIPORTATA QUI DI SEGUITO, IN FORMATO PDF).

PARALLELISMO:

Affrontiamo adesso le questioni relative al PARALLELISMO:

1) Tra piani

2) Tra retta e piano.

(Il parallelismo tra rette è stato invece già affrontato precedentemente).

COMPLANARITA':

INTERSEZIONE:

PERPENDICOLARITA':

DISTANZA:

- SOLIDI A SPIGOLO -

1) RAPPRESENTAZIONE:

Solitamente rappresentare dei solidi, siano essi a spigolo o di rotazione, in proiezioni ortogonali non presenta grandi difficoltà.

Ragion per cui tralasciamo questo argomento e passiamo direttamente alla spiegazione di questioni più complesse.

2) IL PIANO PROIETTANTE:

Si affronteranno i seguenti argomenti:

1) Figura piana sul piano proiettante;

2) Figura solida sul piano proiettante;

3) Sezione di una figura solida con il piano proiettante.

3) IL PIANO GENERICO:

Si affronteranno i seguenti argomenti:

1) Premessa;

2) Ribaltamento di una figura appartenenete al piano generico (e viceversa);

3) Figura solida appartenente al piano generico;

4) Sezione di una figura solida con il piano generico.

4) COMPENETRAZIONE TRA SOLIDI:

5) SOLIDI DI ROTAZIONE:

Si affronteranno i seguenti argomenti:

1) Le sezioni coniche: ellisse, parabola, iperbole;

2) Il cilindro e le sue sezioni;

3) La sfera e le sue sezioni;

4) Compenetrazione tra solidi di rotazione.

Brevemente analizzeremo cosa fare nel caso in cui il problema della COMPENETRAZIONE (già affrontato per i solidi a spigolo)  riguardi invece i  SOLIDI DI ROTAZIONE.

1) INTERSEZIONE DI UNA RETTA CON UN CONO: Si assume un piano proiettante la retta (che abbia dunque la seconda traccia coincidente con la seconda proiezione della retta) e si determina la sezione conica da esso generata. Il problema è stato già discusso nel documento relativo alle sezioni coniche.  L'ellisse generata dal piano secante il cono taglierà in prima proiezione la retta r in due punti: i punti di intersezione cercati.

Lo stesso identico procedimento viene utilizzato nel caso in cui si ricerchino i punti di intersezione tra una retta e un cilindro, oppure una retta ed una sfera.

2) Assai più complessi si presentano invece i problemi di  COMPENETRAZIONE TRA SOLIDI. Se ne dà qualche breve descrizione, a titolo informativo.

Supponiamo per esempio di voler ricercare i punti di intersezione tra un CONO e una  PIRAMIDE. Il metodo più semplice sarebbe quello di considerare gli spigoli della piramide come rette, e determinare la loro intersezione con il cono.

Tuttavia questo metodo può non risultare preciso per determinare i punti di intersezione  con un solido di rotazione. Spesso dunque si fa ricorso a metodi più efficaci.

In generale, l'intersezione tra solidi di rotazione si ricava per punti. Il problema consiste dunque nel determinare più punti possibili della curva comune ai due solidi. Tra CONO e CILINDRO si assumono ad esempio più piani equidistanti e paralleli, secanti le due coniche. Ogni piano genera una sezione sul cono e sul cilindro. I punti a comune tra le sezioni di uno stesso piano sono i punti di intersezione cercati. Nel caso di  SFERA e CONO, invece, e in generale ogni volta che è presente la sfera, si utilizzano piani equidistanti orizzontali: le sezioni di uno stesso piano con la sfera e con l'altro solido avranno dei punti in comune, che sono i punti della curva di intersezione tra i due solidi.

ORTODROMIE E LOSSODROMIE:

Diremo brevemente che le  ORTODROMIE sono ARCHI DI CERCHIO MASSIMO. Sul piano la distanza minore tra due punti è la retta: allo stesso modo sulla superficie sferica l'ortodromia rappresenta la linea di minor curvatura, utilizzata per misurare la distanza tra due punti.

Sulla Terra i meridiani e l'equatore sono ortodromie. Un'ortodromia generica incontra i meridiani con angoli sempre diversi.

Le LOSSODROMIE sono invece linee che incontrano tutti i meridiani con lo stesso angolo, e rappresentano delle spirali logaritmiche sulla sfera.