Si deve al francese Barré de Saint Venant e al tedesco Clebsch l’impostazione e la soluzione del problema dell’equilibrio necessario per eseguire lo studio della trave, argomento fondamentale di Scenza delle Costruzioni. La trattazione di Saint Venant ha, tra l’altro, il vantaggio di poter essere esposta in forma semplice e di condurre a formule di facile impiego.
Dal 1846 al 1858 l’Accademia di Francia aveva invano proposto come tema del suo premio annuale il problema dell’equilibrio di un solido prismatico (cioè una trave) comunque caricato. Nel periodo tra il 1853 e il 1855 Saint Venant era riuscito per primo ad individuare delle soluzioni interessanti. Ma solo più tardi, in un trattato pubblicato nel 1862, un ricercatore tedesco, Clebsch, riuscì ad estendere il metodo proposto da Saint Venant a sollecitazioni aventi forza e momento risultante qualsiasi, pur essendo distribuite sulla superficie libera del solido secondo leggi ben precise.
Saint Venant, accintosi nel 1881 a tradurre in francese l’opera del collega tedesco, scomparso nel 1872, confermò definitivamente la possibilità di estendere la soluzione di Clebsch a solidi comunque caricati sulla “base libera”, cioè la base priva di vincoli. Clebsch sostiene infatti che il sistema di forze applicato alla base libera della trave possa essere sostituito con un altro staticamente equivalente (cioè con la stessa risultante e coppia risultante) senza influire sulle condizione statiche della trave.
La soluzione del problema dell’equilibrio si deve dunque a Clebsch. Tuttavia a Saint Venant si deve il merito di aver impostato correttamente e per primo il problema, e di aver intuito le grandi possibilità di generalizzazione a cui la soluzione di Clebsch si presta. Per questo motivo il problema dell’equilibrio che permette lo studio della trave nella Scienza delle Costruzioni è passato alla storia come “problema di Saint Venant”.
La soluzione del problema dell’equilibrio si riferisce al “solido di Saint Venant”.
Il solido di Saint Venant è una “trave”, cioè un solido cilindrico (o prismatico) generato da una superficie piana A che si muove nello spazio. Le successive posizioni assunte dalla superficie generatrice determinano le sue sezioni trasversali. La retta descritta dal baricentro di ciascuna sezione prende invece il nome di “linea media”. Il solido è dunque dritto (e non incurvato) e la sua sezione costante.
La lunghezza di questa trave è sempre supposta estremamente grande rispetto alle dimensioni della sua sezione trasversale.
Il materiale di cui è fatta è supposto omogeneo (cioè la trave è costituita dallo stesso materiale) ed isotropo (cioè tale per cui in ogni punto del solido valgono le medesime proprietà).
Si ammette inoltre che siano nulle le forze di massa (e che quindi la trave non sia soggetta al proprio peso, o per meglio dire esso è considerato quale forza esterna) e le forze superficiali applicate sulla superficie laterale del cilindro.
La superficie laterale del cilindro è priva di vincoli. Essi dovranno essere applicati solo in corrispondenza delle basi. Per l’esattezza Saint Venant ammette assenza di vincoli alla base z=l, ma la trave è rigidamente incastrata in corrispondenza della base z=0.
Le sollecitazioni sono applicate solo in corrispondenza delle basi, e non lungo l’asse.
Per studiare il problema dell’equilibrio su questa trave, è necessario fissare una terna di assi cartesiani ortogonali. La terna che utilizzeremo ha origine nel baricentro di una delle basi. L’asse x e l’asse y sono gli assi principali di inerzia della base. L’asse z coincide invece con l’asse geometrico della trave, assunto positivo verso l’interno del solido.
Dalle ipotesi appena fatte sullo stato di sollecitazione (e quindi di tensione) a cui è sottoposta la trave, possiamo concludere che nella trave di Saint Venant la matrice delle tensioni (contenente le sei componenti della tensione) ha tre elementi nulli e tre elementi non nulli.
σx = σy= τxy =0
σz = τzx = τzy ≠ 0
La soluzione del problema consiste, assegnato un solido di Saint Venant in equilibrio a cui sono applicate forze che producono determinate sollecitazioni, nel trovare per il solido: spostamenti, deformazioni e tensioni.
Parlando delle sollecitazioni, le caratteristiche di sollecitazione vengono, nel problema di Saint Venant, ricondotte a quattro casi fondamentali:
1) Componente del sistema delle forze applicato secondo l’asse della trave. Tale caratteristica di sollecitazione è indicata con la lettera N, e prende il nome di “sforzo normale”.
2) Componente del sistema delle forze applicato secondo gli assi contenuti nel piano della sezione (cioè l’asse x e l’asse y). Tali componenti sono spesso indicate come Tx e Ty, e vengono chiamate “sforzi taglianti” o “sforzi di taglio”.
3) Momenti rispetto all’asse x e y. Vengono indicati con le lettere Mx e My e chiamati “momenti flettenti”.
4) Momento rispetto all’asse della trave. Viene indicato con la lettera Mz e chiamato “momento torcente”.
Sovrapponendo i risultati ottenuti da questi quattro casi, è possibile ricostruire l’effetto di una qualsiasi sollecitazione composta.
Equazioni indefinite di equilibrio, equazioni costitutive, equazioni di congruenza ed equazioni ai limiti sono infatti quelle che permetteranno di determinare le componenti di tensione, di deformazione e spostamenti della trave nella Scienza delle Costruzioni.
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