Disegno Tecnico COSTRUZIONI ELEMENTARI

Per poter rappresentare gli oggetti (figure piane e figure solide) in disegno tecnico è necessario conoscere bene le principali costruzioni geometriche, perchè esse sono alla base di tutte le costruzioni più complesse.

Le costruzioni geometriche presuppongono a loro volta la conoscenza della geometria elementare.

Di queste costruzioni fanno parte anche le tecniche che permettono di disegnare i poligoni regolari. Un poligono regolare è una figura geometrica piana che ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali.

Un poligono è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono toccati dalla circonferenza. Un poligono è invece circoscritto a una circonferenza se ogni suo lato è tangente a un punto della circonferenza interna.

Poichè tutti i poligoni regolari sono inscrivibili e circoscrivibili in una circonferenza, le costruzioni dei poligoni regolari sono nel disegno tecnico solitamente di due tipi: dato il lato e data la circonferenza circoscritta.

GLI ARGOMENTI CHE FANNO PARTE DELLE COSTRUZIONI ELEMENTARI NEL DISEGNO TECNICO (E CHE QUI DI SEGUITO TRATTEREMO) SONO NEL'ORDINE:

1) BISETTRICE DI UN ANGOLO;

2) ASSE DEL SEGMENTO;

3) CIRCONFERENZA PASSANTE PER TRE PUNTI;

4) CIRCONFERENZA TANGENTE A TRE RETTE;

5) RETTA TANGENTE DA UN PUNTO AD UNA CIRCONFERENZA;

6) SEZIONE AUREA DEL SEGMENTO;

7) COSTRUZIONE DEI POLIGONO POLIGONI REGOLARI:

Triangolo equilatero (dato il lato)

Esagono regolare (data la circonferenza circoscritta)

Ottagono regolare (data la circonferenza circoscritta e dato il lato)

Pentagono regolare (data la circonferenza circoscritta e dato il lato)

Decagono regolare (data la circonferenza circoscritta)

VEDIAMO COME DETERMINARE, NEL DISEGNO TECNICO, LA SEMIRETTA BISETTRICE DI UN ANGOLO ASSEGNATO.

1) PUNTANDO IL COMPASSO NEL VERTICE DELL'ANGOLO, CON APERTURA A PIACERE, SI TRACCIA UN ARCO DI CIRCONFERENZA. ESSO TAGLIA CIASCUNA DELLE DUE SEMIRETTE FORMANTI L'ANGOLO NEI PUNTI 1 E 2.

2) PUNTANDO CON IL COMPASSO IN 1, CON APERTURA A PIACERE, SI OTTIENE UN SECONDO ARCO.

3) PUNTANTO CON IL COMPASSO IN 2, CON APERTURA IDENTICA ALLA PRECEDENTE, SI OTTIENE UN TERZO ARCO.

4) I DUE PUNTI OTTENUTI DALL'INTERSEZIONE DI QUESTI ULTIMI DUE ARCHI APPARTENGONO ALLA BISETTRICE DELL'ANGOLO: QUESTO PERCHE' LA BISETTRICE DISTA UGUALMENTE DAI PUNTI 1 E 2. SI TRACCIA DUNQUE UNA LINEA PASSANTE PER IL VERTICE DELL'ANGOLO ED I DUE PUNTI DI INTERSEZIONE COSI' TROVATI.

P.S. SE L'ANGOLO DOVESSE AVERE IL VERTICE AL DI FUORI DEL FOGLIO DA DISEGNO, E' SUFFICIENTE DETERMINARE LA BISETTRICE DI UN ANGOLO PIU' PICCOLO, CHE HA PER SEMIRETTE GENERATRICI DUE SEMIRETTE PARALLELE A QUELLE DELL'ANGOLO D'ORIGINE.

LA GEOMETRIA CI INSEGNA CHE PER TRE PUNTI NON ALLINEATI PASSA UN SOLO PIANO. E QUINDI ANCHE UNA SOLA CIRCONFERENZA. VEDIAMO COME DETERMINARLA NEL DISEGNO TECNICO,

1) UNIAMO I 3 PUNTI A, B E C ASSEGNATI, IN MODO DA OTTENERE DUE SEGMENTI. CIOE' TRACCIAMO IL SEGMENTO AB E IL SEGMENTO BC.

2) CON IL PROCEDIMENTO VISTO NEL PARAGRAFO PRECEDENTE, TRACCIAMO L'ASSE DI UNO DEI DUE SEGMENTI (AD ESEMPIO BC). ESSO E' IL LUOGO DEI PUNTI EQUIDISTANTI DA B E DA C, DUNQUE IL CENTRO DELLA CIRCONFERENZA DOVRA' STARE SU QUEST'ASSE.

3) TRACCIAMO ANCHE L'ASSE DI AB CON LO STESSO PROCEDIMENTO.

4) IL CENTRO O DELLA CIRCONFERENZA CERCATA DOVRA' STARE SU ENTRAMBI GLI ASSI, QUINDI ESSO E' IL PUNTO DI INCONTRO TRA L'ASSE DI BC E L'ASSE DI AB.

5) PUNTIAMO IN O CON IL COMPASSO, CON APERTURA OA,OPPURE OB O OC, TRACCIANDO COSI' LA CIRCONFERENZA CERCATA.

VEDIAMO COME DETERMINARE, NEL DISEGNO TECNICO, LA CIRCONFERENZA TANGENTE A TRE SEGMENTI (O SEMIRETTE) ASSEGNATI.

1) TRACCIATE LE TRE RETTE, ESSE SI TAGLIANO A VICENDA IN DUE PUNTI, CHE CHIAMIAMO 1 E 2.

2) DISEGNAMO (CON IL PROCEDIMENTO VISTO IN PRECEDENZA) LA BISETTRICE DELL'ANGOLO 1: ESSA E' IL LUOGO DEI PUNTI EQUIDISTANTI DALLE DUE RETTE CHE FORMANO L'ANGOLO. PER QUESTO IL CENTRO O DELLA CIRCONFERENZA CERCATA DOVRA' STARE SU DI ESSA.

3) SI DETERMINA ANCHE LA BISETTRICE DEL PUNTO 2. PER QUESTA BISETTRICE VALGONO ESATTAMENTE LE STESSE CONSIDERAZIONI DELL'ALTRA.

4) LE DUE BISETTRICI SI INCONTRANO IN UN PUNTO: IL CENTRO O DELLA CIRCONFERENZA CERCATA.

5) DA O TRACCIAMO UN SEGMENTO PERPENDICOLARE AD UNA QUALSIASI DELLE TRE RETTE: QUEL SEGMENTO E' IL RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA TANGENTE ALLE TRE RETTE.

VEDIAMO COME DETERMINARE, NEL DISEGNO TECNICO, UNA RETTA TANGENTE AD UNA CIRCONFERENZA CONDOTTA DA UN PUNTO AL DI FUORI DI ESSA.

UNA COSTRUZIONE, QUESTA, CHE SI RIVELERA' UTILISSIMA NELLE PROIEZIONI ORTOGONALI E NELLE OMBRE IN PROIEZIONI ORTOGONALI.

1) CHIAMATO O IL CENTRO DELLA CIRCONFERENZA ASSEGNATA, ED INDICATO CON P UN PUNTO ESTERNO AD ESSA, SI UNISCE IL PUNTO O CON IL PUNTO P.

2) PUNTANDO CON IL COMPASSO IN M (PUNTO MEDIO TRA O E P) TRACCIAMO UN CERCHIO DI RAGGIO OM.

3) DOVE QUESTA SECONDA CIRCONFERENZA TAGLIA LA PRIMA, LA' TROVEREMO I PUNTI A E B, CHE SONO I PUNTI DI TANGENZA CERCATI.

4) I SEGMENTI OA ED OB SARANNO PERPENDICOLARI RISPETTIVAMENTE AD AP E BP. INFATTI L'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA E' SEMPRE PARI ALLA META' DELL'ANGOLO AL CENTRO (CHE QUI MISURA 180°).

P.S. LA MEDESIMA COSTRUZIONE POTEVA ESSERE ESEGUITA ANCHE CON LA SQUADRA, MA QUANDO IL DISEGNO E' MOLTO GRANDE, E' POSSIBILE COMMETTERE ERRORI NEL TRACCIARE LE DUE TANGENTI.

LA SEZIONE AUREA DI UN SEGMENTO E' QUELLA PARTE DI ESSO PROPORZIONALE AL SEGMENTO INTERO E ALLA PARTE RIMANENTE.

IN ALTRE PAROLE, SE IL SEGMENTO INTERO VALE 1, E CON x SI INDICA LA SUA SEZIONE AUREA, VALE CHE: 1: x = x : (1-x)

L'EQUAZIONE TRATTA DALLA PROPORZIONE DIVIENE: x² + x -1 = 0. RISOLVENDOLA, SI OTTIENE x = (-1±√5)/2.

POICHE' UNA SOLUZIONE NEGATIVA NON HA SENSO, NE RISULTA CHE LA SEZIONE AUREA DEL SEGMENTO VALE x = (√5-1)/2.

POICHE' √5 E' UN NUMERO IRRAZIONALE, PER TRACCIARE IL SEGMENTO x (CHE E' SEZIONE AUREA DEL SEGMENTO INTERO) SI RICORRE ALLORA AD UNA SOLUZIONE "GRAFICA".

1) TRACCIAMO IL GENERICO SEGMENTO AC, DI LUNGHEZZA PARI CONVENZIONALMENTE A 2 UNITA'. VOGLIAMO TROVARE LA SUA SEZIONE AUREA (CHE, PER QUANTO DETTO SOPRA, DEVE MISURARE √5-1).

2) DALL'ESTREMO C TRACCIAMO IL SEGMENTO OC, PERPENDICOLARE AD AC E TALE DA MISURARE LA META' (E CIOE' 1).

3) PER IL TEOREMA DI PITAGORA OA = √(4+1) = √5

3) DA O TRACCIAMO UNA CIRCONFERENZA DI RAGGIO OC (CIOE' RAGGIO 1). TROVIAMO IL PUNTO M SU OA. AM MISURA DUNQUE √5 -1. ESSO MISURA QUINDI QUANTO LA SEZIONE AUREA DI AC.

4) RIPORTIAMO QUESTA MISURA SU AC CON IL COMPASSO: TROVIAMO IL PUNTO S. AS E' LA SEZIONE AUREA DEL SEGMENTO AC.

5) SI PUO' QUINDI CONCLUDERE CHE AC : AS = AS : SC.

P.S. SE VOLESSIMO INVECE IL SEGMENTO DI CUI AC E' SEZIONE AUREA, ESSO SAREBBE AN, OTTENUTO PROLUNGANDO OA FINO AD INCONTRARE LA CIRCONFERENZA DI CENTRO O.

AN VIENE INDICATO CON LA LETTERE GRECA φ, ED HA VALORE: (√5-1).

SE AC AVESSE VALORE 1, AVREMMO CHE φ = (√5-1)/2.

VEDIAMO COME DETERMINARE, NEL DISEGNO TECNICO E IN PROIEZIONI ORTOGONALI, UN TRIANGOLO EQUILATERO.

UTILIZZEREMO LA COSTRUZIONE DATO IL LATO.

1) ASSEGNATO IL LATO AB DEL TRIANGOLO EQUILATERO, IL TERZO PUNTO DEL TRIANGOLO (IL PUNTO C) DEVE EQUIDISTARE DA A E DA B, E TANTO QUANTO A DISTA DA B.

2) PUNTANDO PRIMA IN A E POI IN B CON IL COMPASSO, CON APERTURA AB, OTTENIAMO DUE ARCHI.

3) I DUE ARCHI SI INTERSECANO IN UN PUNTO: IL PUNTO C. UNENDO I TRE PUNTI TRA LORO, AVREMO DISEGNATO IL TRIANGOLO EQUILATERO.

VEDIAMO COME DETERMINARE, NEL DISEGNO TECNICO E IN PROIEZIONI ORTOGONALI, UN ESAGONO REGOLARE.

UTILIZZEREMO LA COSTRUZIONE DATA LA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA.

1) ASSEGNATA LA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA, SI SA CHE IL LATO DELL'ESAGONO REGOLARE MISURA QUANTO IL RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA.

2) PER TROVARE I VERTICI DELL'ESAGONO SULLA CIRCONFERENZA, E' SUFFICIENTE, UNA VOLTA TRACCIATO UNO DEI TANTI DIAMETRI POSSIBILI, RIPORTARE LA MISURA DEL RAGGIO SULLA CIRCONFERENZA.

3) PUNTANDO QUINDI CON IL COMPASSO SU UNO DEI DUE ESTREMI DEL DIAMETRO CON APERTURA PARI AL RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA, SI OTTERRA' UN ARCO. SI RIPETE L'OPERAZIONE PUNTANDO ANCHE SULL'ALTRO ESTREMO. I DUE ARCHI INTERSECANO LA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA IN QUATTRO PUNTI, I QUALI, INSIEME AI DUE ESTREMI DEL DIAMETRO DELLA CIRCONFERENZA, COSTRUISCONO I SEI VERTICI DELL'ESAGONO REGOLARE.

4) SE LA COSTRUZIONE E' STATA ESEGUITA ACCURATAMENTE, I LATI DELL'ESAGONO DOVRANNO RISULTARE PARALLELI A DUE A DUE.

VEDIAMO COME DETERMINARE, NEL DISEGNO TECNICO E IN PROIEZIONI ORTOGONALI, UN OTTAGONO REGOLARE.

UTILIZZEREMO SIA LA COSTRUZIONE DATA LA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA SIA LA COSTRUZIONE DATO IL LATO.

COSTRUZIONE DELL'OTTAGONO REGOLARE DATA LA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA:

1) PER DISEGNARE L'OTTAGONO ASSEGNATA LA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA E' SUFFICIENTE TRACCIARE SULLA CIRCONFERENZA DUE DIAMETRI PERPENDICOLARI TRA LORO.

2) DETERMINEREMO LE BISETTRICI DEI QUATTRO ANGOLI AL CENTRO OTTENUTI, UTILIZZANDO LA COSTRUZIONE DESCRITTA IN QUESTA STESSA PAGINA. QUESTO PERCHE' IL LATO DELL'OTTANGONO E' SOTTESO AD UN ANGOLO AL CENTRO DI 45°.

DOVE LE QUATTRO BISETTRICI E I QUATTRO ESTREMI DEI DUE DIAMETRI DELLA CIRCONFERENZA LA INTERSECANO, LA' SI TROVANO GLI OTTO VERTICI DELL'OTTAGONO REGOLARE.

COSTRUZIONE DELL'OTTAGONO REGOLARE DATO IL LATO:

POICHE' SPESSO NEL DISEGNO TECNICO E' UTILE COSTRUIRE L'OTTAGONO REGOLARE IN MODO CHE ESSO NON SIA DI PUNTA (COME INVECE RISULTA SE VIENE COSTRUITO CON IL METODO PRECEDENTE), ECCO QUI SI SEGUITO LA COSTRUZIONE DELL'OTTAGONO REGOLARE DATO IL LATO.

1) SI SA CHE NELL'OTTAGONO REGOLARE, IL LATO E' SOTTESO AD UN ANGOLO AL CENTRO DELLA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA DI 45°. TROVANDO TALE CIRCONFERENZA, E' POSSIBILE TRACCIARE L'OTTAGONO.

2) IL CENTRO O DELLA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA ALL'OTTAGONO STA SULL'ASSE DEL LATO AB ASSEGNATO. DETERMINIAMO DUNQUE L'ASSE DI AB CON IL PROCEDEMENTO VISTO QUALCHE RIQUADRO PIU' SU IN QUESTA PAGINA.

3) DAI DUE ESTREMI A E DA B MANDIAMO DUE RETTE A 45°. ESSE FORMANO, INCONTRANDOSI IN CORRISPONDENZA DELL'ASSE DI AB, UN ANGOLO DI 90°. CHIAMIAMO 1 IL VERTICE DI QUEST'ANGOLO.

4) SI SA CHE UN ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA CHE SOTTENDE UNA CORDA E' SEMPRE PARI ALLA META' DELL'ANGOLO AL CENTRO CHE SOTTENDE LA MEDESIMA CORDA. QUINDI SE IMMAGINIAMO CHE 1 SIA IL CENTRO DI UNA CIRCONFERENZA, E CHE A1B SIA IL SUO ANGOLO AL CENTRO CHE SOTTENDE LA CORDA AB, E' SUFFICIENTE TROVARE L'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA CHE SOTTENDE AB PER TROVARE UN ANGOLO DI 45°.

5) PUNTIAMO DUNQUE CON IL COMPASSO IN 1, CON APERTURA 1-B.

6) LA CIRCONFERENZA TAGLIA L'ASSE DI AB NEL PUNTO O, CENTRO DELLA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA ALL'OTTAGONO.

7) ESSA HA CENTRO IN O E RAGGIO OA OPPURE OB. OTTENUTA LA CIRCONFERENZA, SI RIPORTA SU DI ESSA LA MISURA DI AB ALTRE SETTE VOLTE PER OTTENERE I VERTICI DELL'OTTAGONO REGOLARE.

VEDIAMO COME DETERMINARE, NEL DISEGNO TECNICO E IN PROIEZIONI ORTOGONALI, UN PENTAGONO REGOLARE.

UTILIZZEREMO SIA LA COSTRUZIONE DATA LA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA SIA LA COSTRUZIONE DATO IL LATO.

COSTRUZIONE DEL PENTAGONO REGOLARE DATA LA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA:

1) TRACCIATO IL DIAMETRO ORIZZONTALE 1-2 DELLA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA AL PENTAGONO, SI TROVA IL PUNTO MEDIO DI UNA DELLE DUE META', CHE CHIAMIAMO PUNTO M.

2) TRACCIAMO ANCHE IL DIAMETRO PERPENDICOLARE AD 1-2, E CHIAMIAMO A IL PUNTO PIU' IN ALTO.

3) PUNTIAMO CON IL COMPASSO IN M, CON RAGGIO AM. TROVIAMO COSI' IL PUNTO 3 SUL DIAMETRO 1-2.

4) PUNTANDO IN A CON IL COMPASSO, SI RIPORTA LA MISURA A-3 SULLA CIRCONFERENZA, TROVANDO COSI' IL PUNTO B.

5) SI RIPORTA LA MISURA AB SULLA CIRCONFERENZA ALTRE QUATTRO VOLTE, IN MODO DA OTTENERE I VERTICI DEL PENTAGONO REGOLARE.

P.S. NON ESISTE ALCUNA LOGICA ALLA BASE DI QUESTO METODO: LA SUDDETTA COSTRUZIONE E' PURAMENTE EMPIRICA. COME TALE, LA MINIMA SPRECISIONE PUO' GENERARE ERRORI NEL DETERMINARE LA POSIZIONE DEI VERTICI DEL PENTAGONO.

COSTRUZIONE DEL PENTAGONO REGOLARE DATO IL LATO:

QUESTA COSTRUZIONE DEL PENTAGONO SI BASA SUL FATTO CHE, NEL PENTAGONO, IL LATO E' LA SEZIONE AUREA DELLA DIAGONALE. RISULTA QUINDI UTILE QUANTO SPIEGATO PRECEDENTEMENTE, RIGUARDO LA SEZIONE AUREA DI UN SEGMENTO.

1) VIENE ASSEGNATO IL LATO AB DEL PENTAGONO. LA DIAGONALE AC DEL PENTAGONO DEVE RISPONDERE A DUE REQUISITI: IL LATO AB DEVE ESSERNE LA SEZIONE AUREA E AB=BC.

2) POICHE' IL PUNTO C DEVE DISTARE DAL PUNTO B TANTO QUANTO IL PUNTO A, PUNTANDO CON IL COMPASSO DI B (APERTURA AB) SI TRACCIA UNA SEMI-CIRCONFERENZA: IL PUNTO C DEL PENTAGONO DOVRA' STARE SU DI ESSA.

3) CON LA COSTRUZIONE VISTA PRECEDENTEMENTE A PROPOSITO DELLA SEZIONE AUREA DI UN SEGMENTO, SI DETERMINA AH. CIOE' IL SEGMENTO DI CUI AB E' SEZIONE AUREA. RISULTA CHE AH= AC.

4) SI RIPORTA PERCIO', PUNTANDO CON IL COMPASSO IN A (APERTURA AH), LA MISURA DI AH=AC SULLA CIRCONFERENZA DISEGNATA IN PRECEDENZA.

5) SI TROVA IL PUNTO C, CHE SODDISFA LE DUE CONDIZIONI. SI RIPETE IL PROCEDIMENTO PER TUTTI GLI ALTRI LATI DEL PENTAGONO REGOLARE.

VEDIAMO COME DETERMINARE, NEL DISEGNO TECNICO E IN PROIEZIONI ORTOGONALI, UN DECAGONO REGOLARE.

UTILIZZEREMO LA COSTRUZIONE DATA LA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA.

1) PER DISEGNARE IL DECAGONO DATA LA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA, E' SUFFICIENTE SAPERE CHE NEL DECAGONO IL LATO E' LA SEZIONE AUREA DEL RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA.

2) DETERMINATA QUINDI LA SEZIONE AUREA DEL RAGGIO r, UTILIZZANDO LA COSTRUZIONE PRESENTE IN QUESTA STESSA PAGINA, SI RIPORTA TALE MISURA SULLA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA. SI DETERMINANO COSI' I DIECI VERTICI DEL DECAGONO REGOLARE.