I poliedri regolari hanno lati, facce ed angoloidi uguali. Inoltre sono inscrivibili e circoscrivibili a sfere concentriche.
Questa caratteristica fa sì che di poliedri regolari esistano solo cinque tipi. Infatti per formare un angolo solido sono necessarie almeno tre facce concorrenti nel vertice, e la somma degli angoli adiacenti non può essere superiore a 360°.
Per queste ragioni i poligoni regolari che possono costituire le facce di un poliedro regolare sono esclusivamente il triangolo (con un massimo di 5 facce in un vertice), il quadrato e il pentagono (con un massimo di 3 facce in un vertice).
Qui di seguito si fornisce l'elenco di questi cinque poliedri regolari, e si analizza come rappresentarli nel disegno tecnico. In particolar modo nelle proiezioni ortogonali.
Il tetraedro è il primo poliedro regolare, ed è costituito da quattro facce triangolari equilatere. E' in sostanza una piramide a base triangolare. Costruirlo in proiezioni ortogonali è piuttosto semplice.
Immaginiamo che il tetraedro poggi sul P.O.
1) La prima proiezione coicide con la base triangolare stessa, nella quale le altezze sono gli spigoli del poliedro.
2) Più complesso è invece determinare la seconda proiezione, in quanto non si conosce l'altezza del vertice del tetraedro. Si ricorre allora ad una proiezione ausiliaria.
3) Chiamiamo V il vertice del tetraedro. Posizionando la base in modo che in prima proiezione il triangolo equilatero di base "guardi in giù" (cioè in modo che il vertice sia rivolto verso il basso), chiamiamo A questo vertice. Indichiamo invece con le lettere B e C gli altri due vertici.
4) Puntanto con il compasso nel vertice V', con aperture V'-B' oppure V'-C', si raddrizza lo spigolo. L'intersezione di quest'arco di circonferenza con la retta orizzontale condotta da V' determina il punto V'''. Il cateto V'-V''' del triangolo rettangolo A'-V'-V''' così ottenuto, è pari all'altezza del tetraedro. Riportiamo dunque tale grandezza in seconda proiezione.
SFERA CIRCOSCRITTA AL TETRADRO:
1) Il problema, per costruire la circonferenza che è proiezione ortogonale della sfera, risiede nella seconda proiezione. E' dunque su quella che occorre ragionare per eseguire questa costruzione.
2) La sfera, in seconda proiezione, passa per V", tuttavia non se e conosce il raggio.
3) Per andare avanti è opportuno utilizzare la costruzione della circonferenza passante per tre punti. Facendo riferimento alla costruzione in proiezioni ortogonali del tetraedro (di cui sopra), tracciamo l'asse del segmento A'-V'''. Dove quest'asse tocca l'asse del segmento V'-V''', la si trova un punto P. P'-V' è dunque il raggio della sfera cercata.
4) Trovato il raggio, lo si riporta in seconda proiezione, a partire da V''.
L'immagine del tetraedro è tratta da "CONOSCENZA E RAPPRESENTAZIONE" di Leandro Maria Bartoli, Alinea Editrice.
L'ottaedro è un poliedro regolare costituito da una bi-piramide con otto facce triangolari, quattro per ogni vertice. Ciascun angolo dell'ottaedro ha un ampiezza di 240° (quattro angoli da 60°).
La sua prima proiezione ortogonale è un quadrato, le cui diagonali sono le proiezioni degli spigoli concorrenti nel vertice superiore.
In seconda proiezione ortogonale, l'altezza è pari alla misura delle diagonali in prima proiezione.
L'immagine dell'ottaedro è tratta da "CONOSCENZA E RAPPRESENTAZIONE" di Leandro Maria Bartoli, Alinea Editrice.
Il dodecaedro è un poliedro regolare formato da dodici facce pentagonali parallele a due a due, con le facce di ogni coppia ruotate di 180°.
Se immaginiamo che il dodecaedro poggi sopra una delle sue basi, la sua prima proiezione ortogonale di costruisce a partire da un pentagono regolare. Dai vertici del pentagono di base partono gli spigoli radiali comuni tra le facce inclinate adiacenti.
Occorre far in modo che la misura della diagonale orizzontale del dodecaedro (A'C' nel disegno), misurata sulla prima faccia disegnata, sia la stessa anche per le altre (ad esempio H'K').
Nella seconda proiezione ortogonale del dodecaedro, invece, l'altezza dei vari vertici può essere determinata una volta disegnata la prima proiezione.
Una prima altezza è pari infatti alla distanza, nel pentagono di base, tra un suo vertice ed il centro del poligono. Una seconda altezza (maggiore della prima) è pari invece alla distanza tra il centro del poligono di base ed uno qualsiasi dei vertici più esterni (cioè è pari al raggio della circonferenza circoscritta al dodecaedro, disegnata in prima proiezione ortogonale).
In ogni angolo solido concorrono 3 facce pentagonali. Ogni angolo del pentagono misura 108°, quindi gli angoli solidi misurano nel dodecaedro 324°.
L'immagine del dodecaedro è tratta da "CONOSCENZA E RAPPRESENTAZIONE" di Leandro Maria Bartoli, Alinea Editrice.
L'icosaedro è un poliedro regolare costituito da venti facce triangolari equilatere, cinque concorrenti in ogni vertice.
In prima proiezione ortogonale le cinque facce superiori dell'icosaedro definiscono un pentagono, e le dieci laterali sono contenute tra il perimetro di questo e il decagono inscritto ad una circonferenza.
In seconda proiezione ortogonale, invece, l'altezza delle due piramidi pentagonali che costituiscono l'icosaedro è pari al lato del decagono.
L'altezza della "zona centrale", invece, è pari al raggio della circonferenza circoscritta in prima proiezione ortogonale.
L'immagine dell'icosaedro è tratta da "CONOSCENZA E RAPPRESENTAZIONE" di Leandro Maria Bartoli, Alinea Editrice.
