In questa pagina vedremo come rappresentare nel disegno tecnico un’ellisse, in modo da servircene nelle sezioni sferiche e nelle sezioni coniche in proiezioni ortogonali.
CARATTERISTICHE GEOMETRICHE DI UN’ELLISSE:
Un’ellisse è una curva piana e chiusa, ed appare come un cerchio deformato. Essa è dotata di due assi di simmetria tra loro perpendicolari che si tagliano reciprocamente a metà, chiamati asse maggiore e asse minore. Lungo l’asse maggiore si trovano due punti F1 e F2, chiamati “fuochi dell’ellisse”.
Prendiamo un qualsiasi punto P appartenente all’ellisse e calcoliamo le due distanze di questo punto P da F1 e da F2. Se sommiamo le due quantità ottenute, questo valore risulta essere sempre lo stesso per qualsiasi punto, e pari alla lunghezza dell’asse maggiore.
La definizione geometrica dell’ellisse è infatti: luogo geometrico dei punti tali che la somma delle distanze di ogni suo punto da due punti interni detti “fuochi” è costante e pari all’asse maggiore.
TECNICHE PER COSTRUIRE UN’ELLISSE:
Per disegnare un’ellisse in disegno tecnico esiste più di una tecnica: alcune più semplici ed altre più complesse.
Una di queste, ad esempio, trae spunto dalla “tecnica alla giardiniera” (o “del giardiniere”), e si basa sulla definizione di ellisse che abbiamo appena fornito.
Ma una delle più utilizzate e semplici è sicuramente la cosiddetta “costruzione per otto punti”, e che quindi anche per noi sarà preferibile a qualsiasi altra tecnica. Essa si basa sulla constatazione che l’ellisse non è altro che la deformata del cerchio.
DISEGNARE UNA ELLISSE CON LA COSTRUZIONE PER OTTO PUNTI:
Per poter realizzare la figura con questo metodo, è necessario conoscerne i due assi. Sappiamo che l’ellisse dovrà passare per i quattro estremi degli assi, ma quattro punti non sono sufficienti per tracciarla correttamente.
Ne occorrono almeno altri quattro, per un totale quindi di otto punti. Da qui il nome del metodo: costruzione per otto punti. Nostro compito è trovare questi altri quattro punti per cui deve passare la nostra ellisse.
COSTRUZIONE DEL RETTANGOLO CHE CONTIENE L’ELLISSE:
Noti l’asse maggiore e l’asse minore, mandiamo dagli estremi dell’asse maggiore due rette parallele all’asse minore, e dagli estremi dell’asse minore due rette parallele all’asse maggiore. Questo permette di ottenere un rettangolo. Dentro questo rettangolo si troverà la nostra ellisse.
Come un’ellisse può essere contenuta da un rettangolo, allo stesso modo un cerchio è contenuto in un quadrato.
COSTRUZIONE DEL QUADRATO CHE CONTIENE IL CERCHIO:
Quindi, scegliendo a piacere uno dei lati del rettangolo (ma solitamente viene scelto uno dei due lati minori), gli disegniamo a fianco un quadrato, che avrà quindi il lato o pari all’asse maggiore o pari all’asse minore. Dentro questo quadrato si troverà il cerchio di cui l’ellisse è la deformata.
Per facilitarci il compito e guadagnare spazio, del quadrato possiamo disegnarne solo metà. Dentro questa metà si troverà mezzo cerchio, che si ottiene puntando il compasso nel punto medio M del lato del rettangolo, con apertura pari alla metà di questo lato. Se le misure sono state prese correttamente, il mezzo cerchio sarà tangente al lato opposto al punto M.
DETERMINAZIONE DEI QUATTRO PUNTI “MANCANTI”:
Se uniamo il punto M con i due spigoli del mezzo quadrato, otteniamo due mezze diagonali (quelle del quadrato che abbiamo tagliato a metà). Queste due mezze diagonali toccano il mezzo cerchio in due punti. Da essi mandiamo due rette parallele a due lati del rettangolo.
Come le mezze diagonali del mezzo quadrato toccano il mezzo cerchio in due punti, le diagonali del rettangolo toccheranno l’ellisse (che è la sua deformata) in quattro punti. Si tratta dei quattro ulteriori punti che stavamo cercando.
Disegniamo dunque le due diagonali del rettangolo.
Dove essere intersecano le due rette parallele tracciate in precedenza, là si trovano i quattro punti dell’ellisse. Uniremo gli otto punti totali per i quali passa la figura con uno strumento chiamato “curvilineo”.
VARIANTE DELLA COSTRUZIONE PER OTTO PUNTI:
Spesso può capitare che l’ellisse di sezione appaia con gli assi inclinati in modo tale da non presentarsi perpendicolari. In questo caso la tecnica per tracciare l’ellisse non subirà grandi variazioni rispetto a prima.
Mandiamo come sempre dagli estremi dell’asse maggiore due rette parallele all’asse minore, e dagli estremi dell’asse minore due rette parallele all’asse maggiore. Stavolta la figura è contenuta in un parallelogramma anziché in un rettangolo.
Scegliendo a piacere uno dei lati del parallelogramma (ma solitamente viene scelto uno dei due lati minori), gli disegniamo a fianco il solito mezzo quadrato, che avrà quindi il lato o pari all’asse maggiore o pari all’asse minore.
Dentro questa metà si troverà mezzo cerchio, che si ottiene puntando il compasso nel punto medio M del lato del parallelogramma, con apertura pari alla metà di questo lato. Se le misure sono state prese correttamente, il mezzo cerchio sarà tangente al lato opposto al punto M.
Se uniamo il punto M con i due spigoli del mezzo quadrato, otteniamo due mezze diagonali (quelle del quadrato che abbiamo tagliato a metà). Queste due mezze diagonali toccano il mezzo cerchio in due punti. Da essi mandiamo due rette prima dritte, e poi parallele a due lati del parallelogramma.
Disegniamo, come fatto per il rettangolo, le due diagonali del parallelogramma. Dove esse intersecano le due rette parallele tracciate in precedenza, là si trovano i quattro punti dell’ellisse.
Uniremo gli otto punti totali per i quali passa la figura con uno strumento chiamato “curvilineo”.
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