INTRODUZIONE:
In questa lezione ci occuperemo dell’appartenenza di un punto ad una sfera, che è tra i solidi il più difficile da studiare (per quanto riguarda la geometria) o rappresentare (per quanto riguarda il disegno tecnico). Questo a causa della sua superficie curva e della sua assenza di vertici o generatrici.
Più semplicemente, vedremo come è possibile tracciare, in proiezioni ortogonali, un punto che appartenga alla superficie di una sfera o, se il punto è già stato assegnato, verificare questa appartenenza.
PROIEZIONI ORTOGONALI DELLA SFERA:
Viene dunque assegnata una sfera, di cui vengono fornite le due proiezioni ortogonali (una sul piano di proiezione verticale ed una sul piano di proiezione orizzontale).
Il P.O. mostra la sfera vista dall’alto, mentre il P.V. mostra la sfera vista di fronte.
E’ immediato capire che una sfera appare sotto forma di cerchio sia vista dall’alto sia vista di fronte. Quindi la prima e la seconda proiezione della sfera si presentano come due cerchi.
Se chiamiamo C il centro della sfera, C’ e C” sono la prima e la seconda proiezione di questo punto, allineate secondo un’unica retta di richiamo.
Per determinare un punto P possiamo procedere in due modi.
PRIMA TECNICA PER TROVARE UN PUNTO SU UNA SFERA:
LA SECONDA PROIEZIONE DEL PUNTO:
Un primo modo è disegnare a piacere (purché all’interno della seconda proiezione della sfera) la seconda proiezione di P, cioè P’’. La prima proiezione non può invece essere disegnata a piacere, ma tale da rendere inequivocabilmente il punto P un punto della sfera.
Se P’’ è la seconda proiezione del punto P, P’ si troverà da qualche parte lungo la retta di richiamo condotta a partire da P’’. Il problema è che non sappiamo a che altezza.
PIANO ORIZZONTALE DI SEZIONE IN SECONDA PROIEZIONE:
Immaginiamo dunque di sezionare la sfera con un piano orizzontale, cioè un piano parallelo al P.O. e perpendicolare al P.V. Tra tutti i possibili piani orizzontali, scegliamo quello che passa per P. Dallo studio dei piani sappiamo che un piano orizzontale ha un’unica traccia sul P.V., corrispondente ad una linea orizzontale (la lezione relativa a questo argomento è accessibile cliccando qui). Quindi la seconda traccia di questo piano appare come una linea perfettamente orizzontale passante per P’’.
LA SEZIONE GENERATA DAL PIANO VISTA IN PRIMA PROIEZIONE:
La sezione che questo piano crea tagliando la sfera è un cerchio. Un cerchio che riusciamo a vedere bene solo dall’alto, e cioè in prima proiezione.
Se chiamiamo A” e B” i punti in cui il piano orizzontale interseca il contorno della sfera in seconda proiezione, A’’-B’’ è la lunghezza del diametro della sezione sferica. Misura che troviamo molto facilmente anche in prima proiezione, mandando da A’’ e da B’’ delle rette di richiamo che si fermano sul diametro della prima proiezione della sfera.
Puntando con il compasso nel punto C’ e con apertura C’A’ oppure C’B’, si ottiene un cerchio: la sezione sferica generata dal piano orizzontale.
DETERMINAZIONE DELLA PRIMA PROIEZIONE DEL PUNTO:
Sappiamo che P’ si trova sulla retta di richiamo mandata da P’’. Ma sappiamo anche che P’ si trova lungo il bordo della sezione sferica perché il piano orizzontale che ha generato tale sezione passa per ipotesi per il punto P. Pertanto, dove il bordo della sezione sferica interseca la retta di richiamo condotta da P’’, là si trova P’.
Come si vede, questo accade in due punti, e noi possiamo scegliere assolutamente a piacere quale dei due prendere. In un caso avremo scelto di posizionare il punto P nella parte anteriore della sfera e nell’altro nella parte posteriore.
SECONDA TECNICA PER TROVARE UN PUNTO SU UNA SFERA:
LA PRIMA PROIEZIONE DEL PUNTO:
Il problema poteva essere risolto anche in un secondo modo, sebbene concettualmente identico al primo.
Stavolta disegneremo a piacere (purché all’interno della prima proiezione della sfera) la prima proiezione di P, cioè P’. La seconda proiezione non può invece essere disegnata a piacere, ma tale da rendere inequivocabilmente il punto P un punto della sfera.
Se P’ è la prima proiezione del punto P, P’’ si troverà da qualche parte lungo la retta di richiamo condotta a partire da P’. Il problema è che non sappiamo a che altezza.
PIANO ORIZZONTALE DI SEZIONE IN PRIMA PROIEZIONE:
Di nuovo immaginiamo di sezionare la sfera con un piano orizzontale che passa per P. Sappiamo che la sezione che questo piano crea tagliando la sfera è un cerchio che riusciamo a vedere bene solo dall’alto, e cioè in prima proiezione. E sappiamo anche che P’ si deve trovare sul bordo di questo cerchio.
Puntando quindi con il compasso nel punto C’ con apertura C’P’, otterremo un cerchio: la sezione sferica che stavamo cercando.
Laddove essa taglia il diametro del cerchio in prima proiezione, là si trovano A’ e B’, che sono le prime proiezioni dei punti A e B.
LA SEZIONE GENERATA DAL PIANO VISTA IN SECONDA PROIEZIONE:
Le loro seconde proiezioni si trovano lungo le rette di richiamo condotte da A’ e da B’. Non ad altezza casuale, però. Abbiamo infatti imparato che esse di trovano dove queste rette di richiamo intersecano la seconda proiezione della sfera. Come si vede, questo accade o sopra o sotto il diametro in seconda proiezione. Possiamo scegliere assolutamente a piacere se posizionare A’’ e B’’ sopra o sotto tale diametro, purché naturalmente tutti e due alla stessa altezza. Questo a seconda che si voglia avere il punto P nella calotta superiore o inferiore della sfera.
Unendo A’’ con B’’ si ottiene la seconda proiezione della sezione sferica, che essendo parallela al P.O. appare in seconda proiezione come una linea perfettamente orizzontale.
DETERMINAZIONE DELLA SECONDA PROIEZIONE DEL PUNTO:
Dove questa linea interseca la retta di richiamo condotta da P’, là si trova P’’.
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