INTRODUZIONE:
Nelle scorse lezioni (che potete ritrovare nella sezione “APPARTENENZA IN PROIEZIONI ORTOGONALI” di questo blog) abbiamo parlato dei criteri di appartenenza tra le “entità elementari” della geometria (cioè punti, rette e piani). Abbiamo cioè visto quali condizioni devono presentarsi, in proiezioni ortogonali, affinché un punto appartenga ad una retta, ed una retta appartenga ad un piano.
In questa lezione continuiamo a trattare l’argomento, chiedendoci adesso secondo quali criteri, in proiezioni ortogonali, un punto possa appartenere ad un piano comunque orientato.
APPARTENENZA DEL PUNTO AL PIANO:
Punto e piano sono due elementi incapaci di dialogare tra loro direttamente. In altre parole, per interagire tra punti e piani abbiamo bisogno di un interprete, e questo interprete è la retta. Possiamo infatti dare la seguente definizione: un punto appartiene ad un piano se appartiene ad una retta del piano.
Disegniamo quindi il piano generico α, attraverso le sue tracce. Disegniamo poi una retta r, tale da appartenere a questo piano. Sappiamo che una retta appartiene ad un piano quando le sue tracce omonime giacciono sulle tracce del piano. Ricordiamo che ad un piano appartengono infinite rette.
Un punto P tale da appartenere alla retta r, sicuramente apparterrà anche al piano α. Ricordiamo che ad una retta appartengono infiniti punti.
Un punto appartiene ad una retta quando le sue proiezioni appartengono alle proiezioni omonime della retta. Non c’è dubbio quindi che il punto P appartenga alla retta r. E poiché r apparteneva al piano α, possiamo concludere che anche P appartiene al piano α.
Questo procedimento non cambia di una virgola nel caso in cui il piano non fosse generico, ma proiettante. Né cambia se al posto di una retta generica si sceglie una retta orientata in modo particolare rispetto ai piani di proiezione. Per esempio se la retta dovesse essere orizzontale o frontale.
IL PIANO CHE CONTIENE IL PUNTO:
Spesso nel disegno tecnico è possibile che venga richiesto di risolvere anche il problema opposto. Cioè assegnate le proiezioni ortogonali di un punto, viene chiesto di determinare le tracce di uno qualsiasi degli infiniti piani che lo contengono.
In questo caso basterà tracciare una qualsiasi retta r tale da contenere il punto P. E poi disegneremo uno qualsiasi degli infiniti piani che contengono questa retta. Il punto sarà così automaticamente contenuto dal piano.
ESERCIZIO SVOLTO SULL’APPARTENENZA DI UN PUNTO AD UN PIANO:
Proviamo, giusto per verificare di aver compreso accuratamente l’argomento, a risolvere adesso un esercizio più complesso. Supponiamo ad esempio che venga assegnato il seguente esercizio.
“Assegnate le proiezioni ortogonali di un punto P e le proiezioni ortogonali di una retta r che non contiene il punto P, trovare le tracce del piano contenente la retta r ed il punto P”.
Si tratterà infatti semplicemente di utilizzare quello che ormai sappiamo sulle condizioni di appartenenza tra le entità elementari.
Preoccupiamoci innanzi tutto del punto P. Sappiamo che un punto appartiene ad un piano se il punto appartiene ad una qualsiasi delle infinite rette che appartengono al piano. Quindi, per trovare il piano che contiene P dobbiamo prima di tutto trovare una generica retta s che contenga P. Sappiamo che un punto appartiene ad una retta se le sue proiezioni ortogonali giacciono sulle proiezioni omonime della retta. Quindi la retta s può essere orientata in qualsiasi modo, purché soddisfi tale requisito.
Se la retta s può assumere qualunque orientamento, ci conviene scegliere quello che ci rende il lavoro più semplice. Per esempio, tra tutte le possibili rette s tali da contenere il punto P, possiamo sceglierne una che sia anche parallela alla retta r. Ricordiamo che due rette sono parallele se hanno parallele le proiezioni omonime.
A questo punto trovare il piano che contiene le due rette è molto semplice: basterà che le sue tracce passino per le tracce omonime delle due rette. Contenendo la retta s, il piano conterrà automaticamente anche il punto P.
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