In questa lezione vediamo come esprimere la misura di una grandezza generata dalla somma di altre grandezze, sia per quanto riguarda il valore medio sia per quanto riguarda l’errore commesso. Errore che, naturalmente, deriva da quello delle grandezze di partenza.
INTRODUZIONE:
Nelle scorse lezioni abbiamo parlato di come esprimere le misure delle grandezze, e soprattutto come calcolare l’errore commesso nel processo di misurazione. Ma le grandezze prese in considerazione erano tutte misurate direttamente, con un strumento di misurazione.
A volte, però, può capitare che per determinare la misura di una grandezza sia necessario sommare o sottrarre due misure tra loro, entrambe affette da errore. E quindi sorge spontaneo chiedersi come esprimere la misura della grandezza così calcolata.
VALORE MEDIO NELLA SOMMA DI DUE GRANDEZZE:
Immaginiamo dunque di avere due grandezze affette da errore e di volerle sommare tra loro:
LA = MA ± ∆A
LB = MB ± ∆B
Come si può intuire, MA e MB sono i valori medi delle due misure, mentre ∆A e ∆B sono i loro errori assoluti. Chiamiamo LC la misura della grandezza generata dalla loro somma.
Il valore medio di LC è facile da calcolare: sarà pari alla somma dei valori medi di LA e LB.
LC = MC ± ∆C
MC =MA + MB
ERRORE CALCOLATO COME SEMIDISPERSIONE NELLA SOMMA DI DUE GRANDEZZE:
Vediamo invece quanto vale l’errore. Per calcolarlo utilizziamo il concetto di semidispersione.
Sappiamo che l’errore calcolato come semidispersione prevede l’utilizzazione di questa formula:
Nel nostro caso: LC MAX=LA MAX + LB MAX e LC MIN=LA MIN + LB MIN.
Dove:
LA MAX=MA + ∆A
LA MIN=MA – ∆A
LB MAX=MB + ∆B
LB MIN=MB – ∆B
Quindi:
LC MAX= (MA + ∆A) + (MB + ∆B) = MA + MB + ∆A + ∆B
LC MIN=(MA – ∆A) + (MB – ∆B) = MA + MB – ∆A – ∆B
L’errore calcolato con la semidispersione è pari a:
∆C = ½ (LC MAX – LC MIN) = ½ [(MA + MB + ∆A + ∆B) – (MA + MB – ∆A – ∆B)]
Cambiando segno ai termini dentro la seconda parentesi si ottiene:
∆C = ½ (MA + MB + ∆A + ∆B – MA – MB + ∆A + ∆B)
MA ed MA si eliminano tra loro. Come pure MB ed MB. Sommando tra loro le grandezze rimaste si ottiene:
∆C = ½ (2∙ ∆A +2∙∆B)
∆C = ∆A +∆B
L’ERRORE ASSOLUTO DELLA SOMMA DI DUE GRANDEZZE:
Possiamo dunque dire che:
LC = MC ± ∆C
Dove MC è uguale alla somma dei valori medi delle due grandezze di partenza, mentre ∆C è uguale alla somma degli errori assoluti delle due grandezze di partenza.
Possiamo dunque giungere alla seguente conclusione:
L’errore assoluto di una somma o di una differenza è uguale alla somma degli errori assoluti delle grandezze di partenza.
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