INTRODUZIONE:
A partire da questa lezione, parleremo dei problemi di appartenenza. Cioè vedremo in base a quali criteri, in proiezioni ortogonali, una delle cosiddette “entità elementari” della geometria (punto, retta, piano) appartiene all’altra.
Per comprendere questa lezione e quelle a seguire sui problemi di appartenenza, è essenziale avere ben presente come si rappresentano queste entità in proiezioni ortogonali, compresi i casi particolari. Se l’argomento vi è già più che noto, potete procedere con la lettura della lezione. Altrimenti potete facilmente ripassarlo attraverso le pagine della sezione “PROIEZIONI ORTOGONALI” del blog.
APPARTENENZA PUNTO-RETTA:
Le prime due entità elementari sono il punto e la retta.
Un punto appartiene ad una retta quando le sue proiezioni si trovano sulle proiezioni omonime della retta. Vediamo cosa significa.
Disegniamo la retta r in proiezioni ortogonali: r’ ed r’’. Un punto P appartiene a questa retta se la sua prima proiezione P’ si trova sulla prima proiezione della retta, e cioè su r’. E se la sua seconda proiezione P’’ si trova sulla seconda proiezione della retta, e cioè su r’’. Da notare come nel punto la prima e la seconda proiezione sono sempre allineate secondo una retta, chiamata “retta di richiamo”.
Se questo non accade, cioè ad esempio se solo una della proiezioni del punto si trova sulla proiezione corrispondente della retta, il punto non appartiene alla retta.
ATTENZIONE AL TERMINE “OMONIME”:
Attenzione poi alla definizione che abbiamo dato poco fa: un punto appartiene ad una retta quando le sue proiezioni si trovano sulle proiezioni omonime della retta. Le proiezioni devono dunque essere quelle omonime perché il punto appartenga alla retta! Il che significa che sulla prima proiezione della retta si deve trovare la prima proiezione del punto, e sulla seconda proiezione della retta si trova la seconda proiezione del punto. Altrimenti non c’è appartenenza tra il punto e la retta.
APPARTENENZA RETTA-PIANO:
Una retta appartiene ad un piano se le sue tracce giacciono sulle tracce omonime del piano.
Vediamo cosa significa. Disegniamo il piano generico α in proiezioni ortogonali. Come sappiamo, un piano si disegna attraverso le sue tracce, cioè attraverso le rette di intersezione tra il piano e i piani di proiezione P.O. e P.V. Quindi rappresenteremo questo piano con le sue tracce t’α e t’’α.
Una retta generica r appartiene a questo piano se le sue tracce T’r e T’’r giacciono sulle tracce omonime del piano. Di nuovo occorre fare molta attenzione alla parola “omonime”.
Ricordiamo che le tracce di una retta sono i punti in cui essa interseca i due piani di proiezione P.O. e P.V. Attraverso le tracce della retta è poi possibile disegnarne le proiezioni, con un procedimento che abbiamo spiegato dettagliatamente nelle scorse lezioni.
RETTE E PIANI PARTICOLARI:
Esistono però tanti tipi di retta e tanti tipi di piano.
Se il piano è un piano proiettante (e quindi perpendicolare ad uno dei piani di proiezione) e la retta è una retta generica, nulla cambia rispetto a quanto abbiamo visto finora. Ricordiamo che un piano proiettante ha una traccia costituita da una linea verticale, mentre l’altra è una linea inclinata. E’ inclinata la traccia nel piano di proiezione dove il piano proiettante è perpendicolare.
Nelle prossime lezioni presenti in questa sezione del blog vedremo invece cosa accade quando le rette assumono posizioni particolari rispetto ai piani di proiezione. Possiamo già intuire come resti invariata la definizione che abbiamo dato precedentemente: una retta appartiene ad un piano se le sue tracce giacciono sulle tracce omonime del piano. Però l’applicare questa definizione su rette o piani particolari potrebbe destare all’inizio qualche perplessità. Ragion per cui vale la pena analizzare con attenzione questi casi.
GUARDA IL VIDEO DELLA LEZIONE SU YOUTUBE E ISCRIVITI AL MIO CANALE!