INTRODUZIONE:
Nella presente lezione parleremo di come rappresentare una retta in proiezioni ortogonali.
Diamone prima di tutto la definizione. Una retta è una linea infinita, e come tale è costituita da infiniti punti che si susseguono nella stessa direzione. E’ priva di larghezza e di spessore.
La retta viene indicata con una lettera minuscola dell’alfabeto.
La retta viene rappresentata, in proiezioni ortogonali, attraverso le sue proiezioni e le sue “tracce“. Le tracce di una retta sono i punti in cui essa incontra i piani di proiezione. Vediamo di spiegare bene questo concetto.
RAPPRESENTARE UNA RETTA IN PROIEZIONI ORTOGONALI:
Come sempre, vediamo prima cosa accade solo sul P.O e sul P.V., e solo successivamente vedremo come rappresentarla sul piano laterale P.L. Anche perché la proiezione della retta sul P.L. può tranquillamente essere dedotta da quelle sul P.O e sul P.V, e spesso può addirittura non essere considerata.
Immaginiamo di avere una retta nello spazio. Per semplicità la immagineremo nel primo diedro. Solo successivamente vedremo come rappresentarla quando si trova in uno degli altri tre diedri. Ricordiamo che i diedri sono i quattro settori in cui i piani di proiezione P.O. e P.V. dividono lo spazio (potete accedere alla lezione ad essi dedicata cliccando qui).
La retta per definizione è costituita da infiniti punti. Come la geometria ci insegna, per due punti passa una ed una sola retta. Questo significa che se prendiamo due punti a caso sulla retta, e ne determiniamo le proiezioni ortogonali sul P.O. e sul P.V., unendo questi punti è possibile tracciare le proiezioni della retta sul P.O. e su P.V. Se chiamiamo r la retta da rappresentare, la sua prima proiezione viene chiamata r’. La sua seconda proiezione r’’.
Naturalmente è possibile anche l’operazione opposta. Cioè, date le proiezioni della retta sul P.O. e sul P.V. possiamo determinare l’esatta posizione della retta nello spazio.
DETERMINARE LE PROIEZIONI DELLA RETTA CON LE SUE TRACCE:
Normalmente, però, per tracciare le proiezioni ortogonali di una retta sul P.O. e sul P.V. non si utilizzano due punti a caso, bensì due punti particolari. Cioè quelli in cui la retta r interseca rispettivamente il quadro orizzontale (il P.O.) e il quadro verticale (il P.V.). Questi due punti sono chiamati “tracce della retta”, e vengono indicati con i simboli T1 e T2.
La prima traccia T1 (o traccia orizzontale) è quella in cui la retta taglia il P.O. La seconda traccia T2 (o traccia verticale) è invece quella in cui la retta taglia il P.V.
Conoscendo le due tracce T1 e T2 della retta è possibile trovare le sue proiezioni ortogonali.
Basterà condurre due linee perpendicolari da T1 e T2 alla linea di terra, determinando così T”1 e T’2. T’’1 è la seconda proiezione del punto T1. Poiché tale punto si trova sul P.O., T1 coincide infatti con la sua prima proiezione. T’2 è invece la prima proiezione del punto T2. Poiché tale punto si trova sul P.V., T2 coincide infatti con la sua seconda proiezione.
Congiungiamo le prime proiezioni tra loro (cioè T1 con T’2) e le seconde proiezioni tra loro (cioè T2 con T’’1). Si ottengono le proiezioni r’ ed r’’ della retta. La r’ è la proiezione sul P.O., ricavabile unendo le prime proiezioni. La r’’ è la proiezione sul P.V., ricavabile unendo le seconde proiezioni.
DETERMINARE LE TRACCE DELLA RETTA CON LE SUE PROIEZIONI:
Più frequentemente accade però il contrario. Cioè, assegnate le proiezioni ortogonali della retta, viene chiesto di determinarne le tracce. Determinare le tracce di una retta è sempre importantissimo, soprattutto nei problemi di appartenenza, che vedremo più avanti.
Assegnate dunque le proiezioni ortogonali della retta r (r’ ed r’’), T1 e T2 si determinano prolungando le due proiezioni fino alla linea di terra. Laddove la seconda proiezione incontra la linea di terra, là si trova T”1. Laddove la prima proiezione incontra la linea di terra, là si trova T’2. Da T”1 e T’2 si conducono le perpendicolari alla linea di terra fino ad incontrare le proiezioni r’ ed r’’ della retta. Là si trovano rispettivamente le due tracce T1 e T2. T1 è la traccia sulla prima proiezione r’. T2 è la traccia sulla seconda proiezione r’’.
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