INTRODUZIONE
In questa lezione ci occuperemo dell’appartenenza di una figura piana ad un piano. Detto più semplicemente, vedremo in quale modo è possibile determinare, in proiezioni ortogonali, le tracce del piano che contiene una figura piana. Argomento, questo, che si rivela utilissimo negli esercizi di disegno tecnico.
ASSEGNAZIONE DELLA FIGURA PIANA
Immaginiamo dunque di voler disegnare un generico triangolo comunque orientato rispetto ai due piani di proiezione P.O. e P.V.
Un triangolo è formato da tre vertici, cioè da tre punti. Disegniamo dunque tre punti A, B e C in proiezioni ortogonali. Unendo i tre punti tra loro, si otterranno le proiezioni ortogonali del triangolo. Sia in prima che in seconda proiezione.
Ebbene, vogliamo determinare le tracce del piano α che contiene questa figura.
La soluzione è abbastanza semplice, e la si determina grazie a quanto ormai sappiamo sulle questioni di appartenenza che abbiamo visto nelle scorse lezioni (a cui potete accedere attraverso la sezione “APPARTENENZA IN PROIEZIONI ORTOGONALI” presente nel blog).
Il piano che contiene questo triangolo è tale da contenere anche i suoi tre vertici. La questione consiste dunque nel determinare quel piano α che contiene i punti A, B e C.
LE RETTE CHE CONTENGONO I VERTICI DELLA FIGURA PIANA
Sappiamo che un punto appartiene ad un piano se appartiene ad una retta del piano (la lezione relativa all’appartenenza tra un punto e un piano è accessibile cliccando qui). Quindi occorre adesso trovare tre rette che contengano i punti A, B e C. Se il piano le contiene, contiene automaticamente anche i tre punti.
La cosa più saggia e semplice da fare è prendere come rette quelle che contengono quei segmenti che sono i lati del triangolo: AB, BC e AC. E questo per due ragioni fondamentali.
Primo, perché già le abbiamo quasi completamente disegnate, e non abbiamo bisogno di crearle da noi. Sarà sufficiente prolungare i lati del triangolo fino alla linea di terra (sia in prima che in seconda proiezione) e trovarne le tracce.
Secondo, perché attuando questa scelta possiamo in realtà prendere in considerazione solo due rette a piacere delle tre, in quanto la terza risulta ridondante. Per esempio possiamo considerare solo la retta che passa per AB (e che chiameremo retta r) e solo la retta che passa per BC (e che chiameremo retta s). Come si vede, infatti, con queste due sole rette abbiamo già fatto in modo che ognuno dei tre punti abbia una retta che passi per esso, e quindi una terza retta risulterebbe superflua.
Sappiamo che una retta appartiene ad un piano se le sue tracce giacciono sulle tracce omonime del piano (la lezione relativa all’appartenenza tra un punto e una retta è accessibile cliccando qui). Risulta dunque necessario determinare le tracce della retta r e della retta s. Il piano le cui tracce contengono le tracce omonime di queste due rette è il piano che desideriamo trovare.
LE TRACCE DELLE RETTE CHE CONTENGONO I VERTICI
Il procedimento per trovare le tracce di una retta a partire dalle sue proiezioni ci è in realtà ben noto: lo abbiamo visto nella lezione dedicata alle proiezioni ortogonali di una retta (è possibile accedere a questa lezione cliccando qui).
Prolunghiamo dunque la retta r fino alla linea di terra, sia in prima che in seconda proiezione. Dove la prima e la seconda proiezione toccano la linea di terra, là si trovano rispettivamente T’2r e T’’1r. Cioè la prima proiezione della seconda traccia di r e la seconda proiezione della prima traccia di r. Da questi punti mandiamo delle perpendicolari alla linea di terra. Dove T’2r interseca r’’, là si trova T2r (cioè la seconda traccia di r). Dove T’’1r interseca r’, là si trova T1r (cioè la prima traccia di r). Ecco trovate le due tracce di r.
Facciamo la stessa cosa con la retta s. Prolunghiamo dunque la retta s fino alla linea di terra, sia in prima che in seconda proiezione. Dove la prima e la seconda proiezione toccano la linea di terra, là si trovano rispettivamente T’2s e T’’1s. Cioè la prima proiezione della seconda traccia di s e la seconda proiezione della prima traccia di s. Da questi punti mandiamo delle perpendicolari alla linea di terra. Dove T’2s interseca s’’, là si trova T2s (cioè la seconda traccia di s). Dove T’’1s interseca s’, là si trova T1s (cioè la prima traccia di s). Ecco trovate le due tracce di s.
DETERMINAZIONE DEL PIANO
Il piano che stiamo cercando ha la prima traccia che passa per T1r e T1s, e la seconda traccia che passa per T2s e T2r.
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