In questa lezione vedremo come determinare in proiezioni ortogonali l’intersezione tra un cono che poggia sul P.O. e una retta r. Esercizio, questo, propedeutico al prossimo conclusivo argomento delle compenetrazioni: la compenetrazione con i solidi di rotazione.
CONSIDERAZIONI PRELIMINARI SULL’INTERSEZIONE TRA IL CONO E LA RETTA:
La retta r penetra all’interno del cono, per poi uscirne. Quindi la parte centrale della retta si trova dentro il cono, mentre la parte iniziale e finale si trovano fuori. Il problema che è non sappiamo dove questo avviene, cioè non sappiamo qual è il punto esatto in cui la retta entra nel cono e qual è il punto esatto in cui ne esce. Questi due punti si chiamano punti di rottura.
Per determinarli, si procede come segue. Immaginiamo di far passare per la retta un piano proiettante, tale da avere la seconda traccia coincidente con la seconda proiezione della retta.
Questo piano interseca il cono, producendo una sezione a forma di ellisse. Sappiamo infatti (perchè lo abbiamo visto in una precedente lezione) che l’intersezione di un cono con un piano può dare origine a cinque differenti tipi di sezione: cerchio, ellisse, parabola, iperbole e triangolo. Immaginando il cono sempre disposto con la base poggiante sul P.O., il tipo di sezione conica dipende soltanto dall’inclinazione del piano.
DETERMINAZIONE DELL’INTERSEZIONE TRA IL CONO E LA RETTA:
In questo caso la sezione conica è un’ellisse perchè il piano secante taglia tutte le generatrici del cono, ed è obliquo rispetto al suo asse. Determineremo i suoi punti e la disegneremo in proiezioni ortogonali come spiegato nella lezione dedicata a questa sezione conica (accessibile cliccando qui).
L’ellisse interseca la prima proiezione della retta r in due punti, che chiameremo X’ e Y’. Questi sono i due punti di rottura che stavamo cercando. La retta entra nel cono dal punto X’ e ne esce da Y’. La parte di retta che si trova all’interno dell’ellisse di sezione è la parte che si trova all’interno del solido.
Ritroveremo facilmente questi punti in seconda proiezione. Se infatti X’ e Y’’ si trovano su r’, X’’ ed Y’’ si troveranno su r’’, allineati alle loro prime proiezioni grazie a delle rette di richiamo perpendicolari alla linea di terra.
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