INTRODUZIONE
Nella presente lezione parleremo di come rappresentare un piano in proiezioni ortogonali.
Diamone prima di tutto la definizione. Un piano è una superficie illimitata e priva di qualsiasi spessore. Lo si indica con una lettera minuscola dell’alfabeto greco: α, β, γ, δ, ε…e così via.
In proiezioni ortogonali, il piano si rappresenta mediante le sue tracce. Esse sono le rette di intersezione del piano con i piani di proiezione P.O., P.V. e P.L.
Se chiamiamo α il piano assegnato, la retta di intersezione di questo piano con il P.O. prende il nome di t’α (cioè “traccia prima del piano α”). La retta di intersezione di questo piano con il P.V. prende il nome di t’’α (cioè “traccia seconda del piano α”). La retta di intersezione di questo piano con il P.L. prende il nome di t’’’α (cioè “traccia terza del piano α”).
A seconda di come esso è orientato rispetto ai piani di proiezione (e quindi a seconda di come sono disposte le sue tracce), un piano può essere di vario tipo.
IL PIANO GENERICO IN PROIEZIONI ORTOGONALI:
Un piano si dice generico se è orientato in maniera qualsiasi rispetto ai piani di proiezione. Un piano generico è molto facile da riconoscere, perché tutte le sue tracce sono oblique rispetto alla linea di terra. Non solo: nel piano generico le due tracce (quella sul P.O. e quella sul P.V.) si devono necessariamente incontrare in un punto sulla linea di terra.
Per la verità le due tracce si devono incontrare in un unico punto anche con la terza traccia del piano. Ma spesso il terzo piano di proiezione non si utilizza, o comunque può essere trascurato.
La terza traccia può essere trovata senza difficoltà a partire dalle prime due. Il procedimento è identico a quello che abbiamo visto per i punti nella scorsa lezione (a cui potete accedere cliccando qui). Basterà unire il punto in cui la seconda traccia tocca la linea t’’ con il punto (ruotato in senso antiorario) in cui la prima traccia tocca la linea t’.
L’angolo che la seconda traccia forma con la linea di terra ci dice qual è la sua inclinazione rispetto al piano orizzontale. L’angolo che la prima traccia forma con la linea di terra ci dice invece qual è la sua inclinazione rispetto al piano verticale. Quindi una certa traccia ci dà informazioni riguardo a come il piano si trova rispetto al piano di proiezione opposto.
IL PIANO PROIETTANTE (O AUSILIARIO) IN PROIEZIONI ORTOGONALI:
Un piano si dice proiettante quando è perpendicolare ad uno (ed uno solo) dei tre piani di proiezione. Quindi i piani proiettanti possono essere di tre tipi: perpendicolari al P.O., perpendicolari al P.V. o perpendicolari al P.L.
A volte, parlando, si può sentir dire “piano perpendicolare o proiettante in P.O., in P.V., o in P.L.”. Ma è esattamente la stessa cosa: un piano è infatti proiettante laddove è perpendicolare.
Le tracce di questo piano hanno una forma molto caratteristica. Nel piano proiettante, infatti, due tracce sono costituite da una linea verticale o orizzontale, mentre la terza linea è una linea inclinata. E’ inclinata la traccia nel piano di proiezione dove il piano proiettante è perpendicolare. Laddove il piano è invece inclinato genericamente, le tracce si presentano o come una linea verticale o come una linea orizzontale.
Il termine “proiettante” deriva dal fatto che una figura su di esso è proiettata sulla traccia corrispondente. Detto in termini più semplici, tutte le figure che appartengono ad un piano proiettante hanno la loro proiezione omonima sulla traccia obliqua del piano.
I TRE TIPI DI PIANO PROIETTANTE
Se il piano proiettante è proiettante (cioè perpendicolare) nel P.O., l’unica traccia obliqua è proprio quella sul P.O. Cioè il quadro di proiezione dove il piano considerato è perpendicolare. Le altre due sono invece costituite da una linea verticale. I due angoli che la prima traccia forma con la linea di terra e con t’ ci forniscono l’inclinazione del piano rispetto al P.V. e al P.L.
Se il piano proiettante è proiettante (cioè perpendicolare) nel P.V., l’unica traccia obliqua è proprio quella sul P.V. Cioè il quadro di proiezione dove il piano considerato è perpendicolare. Le altre due sono invece costituite da una linea verticale e da una linea orizzontale. I due angoli che la seconda traccia forma con la linea di terra e con t’’ ci forniscono l’inclinazione del piano rispetto al P.O. e al P.L.
Se il piano proiettante è proiettante (cioè perpendicolare) nel P.L., l’unica traccia obliqua è proprio quella sul P.L. Cioè il quadro di proiezione dove il piano considerato è perpendicolare. Le altre due sono invece costituite da una linea orizzontale. I due angoli che la terza traccia forma con t’ e t’’ ci forniscono l’inclinazione del piano rispetto al P.O. e al P.V.
RIBALTAMENTO DEL PIANO PROIETTANTE
Le tracce di un piano proiettante formano tra loro un angolo retto, cioè un angolo di 90°.
Se dall’analisi delle proiezioni ortogonali questo angolo di 90° non appare, è perché, essendo il piano obliquo rispetto agli altri due piani di proiezione, non riusciamo a vedere la vera inclinazione delle sue tracce. Per riuscirci occorrerà ribaltare il piano rispetto ad una delle sue tracce, o sul P.O. (piano è proiettante nel P.O.) o sul P.V (piano è proiettante nel P.V.). Se ribaltiamo rispetto alla prima traccia, t’’α e t’’’α vengono a trovarsi sul P.O., e risultano perpendicolari a t’α. Se ribaltiamo rispetto alla seconda traccia, t’α e t’’’α vengono a trovarsi sul P.V., e risultano perpendicolari a t’’α. Le tracce ribaltate sono sempre tra parentesi. Le parentesi tonde indicano infatti un ribaltamento.
UTILITA’ DEL PIANO PROIETTANTE
Il piano proiettante è particolarmente utile nelle proiezioni ortogonali. Non a caso esso è noto anche come “piano ausiliario”. E’ il piano infatti che permette di “dialogare” con il piano generico. E’ cioè l’anello di congiunzione tra il piano generico e i tre piani di proiezione. Senza il piano proiettante, non sarebbe possibile risolvere problemi di trasporto, sezione o ribaltamento sul piano generico, non essendo noi capaci di “dialogare” direttamente con esso.
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