INTRODUZIONE:
In questa lezione parleremo di come determinare la vera inclinazione di una retta generica.
Nella scorsa lezione (a cui potete accedere cliccando qui) abbiamo parlato del fatto che una retta può assumere inclinazioni differenti rispetto ai piani di proiezione P.O. e P.V.
E abbiamo anche visto che, se essa è generica (cioè inclinata genericamente rispetto a tutti i piani di proiezione) non riusciamo a vederne la vera inclinazione in proiezioni ortogonali.
Per farlo, abbiamo a disposizione due metodi: il metodo della rotazione e il metodo del ribaltamento.
VERA INCLINAZIONE DELLA RETTA CON IL METODO DELLA ROTAZIONE:
Vediamo innanzi tutto il primo di questi due metodi: il metodo della rotazione. Metodo che in realtà abbiamo già visto per determinare la vera lunghezza di un segmento e che viene applicato in maniera identica anche per determinare la vera inclinazione di una retta.
Supponiamo dunque di avere una retta generica (cioè inclinata genericamente rispetto ai piani di proiezione), di cui conosciamo le proiezioni ortogonali. Della retta possediamo le tracce (T1 e T2), che sono i punti dove essa interseca i quadri di proiezione. T1 è il punto dove essa interseca il piano orizzontale P.O., e la sua seconda proiezione è T1″. T2 è il punto dove essa interseca il piano verticale P.V., e la sua seconda proiezione è T2′. Possiamo applicare fedelmente alla retta il procedimento che abbiamo visto per il segmento.
VERA INCLINAZIONE DELLA RETTA SUL P.O:
Come accadeva per il segmento, possiamo scegliere di lavorare in prima o in seconda proiezione. In questo caso si sceglie di lavorare per esempio in prima proiezione.
Puntiamo con il compasso in T2’, con apertura T1-T2’. Facciamo compiere a T1 un arco di circonferenza fino a portarlo sulla linea parallela alla linea di terra condotta da T2’. Ma trovandosi T2’ sulla linea di terra, questa linea parallela viene a coincidere con la linea di terra stessa. Chiamiamo il punto trovato (T1), cioè “T1 ribaltato”. Con questa operazione abbiamo disposto la prima proiezione della retta in modo tale da essere sulla linea di terra, e la retta stessa parallela al P.V. Quindi saremo adesso in grado di vederla in vera inclinazione in seconda proiezione.
Troviamo ora la “nuova” seconda proiezione della retta. Poiché la traccia T1 ha ruotato solo orizzontalmente, la sua quota (o altezza) è rimasta invariata. Quindi T1” si trova ancora sulla linea di terra, e viene a coincidere con (T1). Unendo (T1) con T2, si otterrà la vera inclinazione della retta. Cioè l’angolo che essa forma con il P.O.
VERA INCLINAZIONE DELLA RETTA SUL P.V:
Con un ragionamento identico, potevamo lavorare anche in seconda proiezione. Quella che si ottiene alla fine è la vera inclinazione della retta in prima proiezione, cioè l’angolo che essa forma con il P.V.
VERA INCLINAZIONE DELLA RETTA CON IL METODO DEL RIBALTAMENTO:
Lo stesso risultato può essere ottenuto con un secondo metodo del tutto equivalente, chiamato “metodo del ribaltamento”. Questo metodo è una perfetta alternativa al metodo della rotazione appena visto.
Di nuovo supponiamo di avere una retta, di cui conosciamo le proiezioni ortogonali. Della retta possediamo le tracce (T1 e T2) e lo loro proiezioni sul P.V. e sul P.O. Cioè T1’’ e T2’.
Individuiamo le tracce di un piano proiettante tale da contenere la retta. Possiamo scegliere indifferentemente un piano proiettante (cioè perpendicolare) al P.O o al P.V. Se il piano è proiettante in P.O., affinché la retta gli appartenga occorre che la prima traccia del piano (quella obliqua) coincida con la prima proiezione della retta. Se invece il piano è proiettante in P.V., affinché la retta gli appartenga occorre che la seconda traccia del piano (quella obliqua) coincida con la seconda proiezione della retta.
VERA INCLINAZIONE DELLA RETTA SUL P.O:
In questo caso, scegliamo ad esempio un piano proiettante in P.O., che chiamiamo piano β. Per la prima proiezione della retta si fa dunque passare la prima traccia del piano. Le due tracce del piano β si incontrano nel punto T2’.
A questo punto ribaltiamo il piano attorno attorno alla prima traccia, in modo da portarlo sul piano P.O. Ribaltare il piano proiettante attorno ad una delle sue tracce permette infatti di vedere in vera grandezza o inclinazione qualsiasi oggetto che gli appartiene. In questo caso, la retta r.
Ruotiamo dunque il piano β attorno a t’β. Sappiamo che le tracce di un piano proiettante (se visto nella sua vera inclinazione) formano tra loro un angolo di 90°. Quindi, a ribaltamento avvenuto, la seconda traccia t’’β (che chiameremo (t’’β)) si troverà ad essere perpendicolare a t’β.
La prima traccia T1 già si trovava su t’β. E poiché questa traccia non si è mossa (anzi è stata il perno della nostra rotazione), T1 è rimasto dov’era. T2 ha invece ruotato assieme a t’’β, e dunque ora dovrà trovarsi su (t’’β). Ma a che altezza? La sua quota non è cambiata da quella che aveva prima che il piano subisse un ribaltamento. Misura questa che possiamo riportare su (t’’β) dopo averla misurata in seconda proiezione. Oppure puntando in T2’ con il compasso con apertura pari all’altezza di T2. La linea che congiunge T1 a (T2) è la vera inclinazione della retta sul P.O.
VERA INCLINAZIONE DELLA RETTA SUL P.V:
Allo stesso modo, potevamo scegliere di far passare per la retta un piano proiettante in P.V. che poi andiamo a ribaltare sul P.V. stesso. Per la seconda proiezione della retta si fa dunque passare la seconda traccia del piano. Le due tracce del piano β si incontrano nel punto T1’’.
Ruotiamo dunque il piano β attorno a t’’β in modo da portare il piano sul P.V. Abbiamo detto che le tracce di un piano proiettante (se visto nella sua vera inclinazione) formano tra loro un angolo retto. Quindi, a ribaltamento avvenuto, la prima traccia t’β (che chiameremo (t’ β)) si troverà ad essere perpendicolare a t’’β, e tutto ciò che il piano contiene lo vedremo in vera grandezza o inclinazione.
La seconda traccia T2 già si trovava su t’’β. E poiché questa traccia non si è mossa (anzi è stata il perno della nostra rotazione), T2 è rimasto dov’era. T1 ha invece ruotato assieme a t’β, e dunque ora dovrà trovarsi su (t’β). Ma a che aggetto? Il suo aggetto non è minimamente cambiata da quello che aveva prima che il piano subisse un ribaltamento. Misura questa che possiamo riportare su (t’β) dopo averla misurata in prima proiezione. Oppure puntando in T1’’ con il compasso con apertura pari all’altezza di T1. La linea che congiunge T2 a (T1) è la vera inclinazione della retta sul P.V.
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