Il metodo delle proiezioni (o rotazioni) successive, è una della tre tecniche utilizzate nel disegno tecnico per disegnare in proiezioni ortogonali un solido a spigolo che poggia con la base su un piano generico. O, più semplicemente, un solido a spigolo tale da risultare inclinato (con l’asse e con le sue facce) a tutti e tre i piani di proiezione.
Le altre due tecniche sono il metodo del piano ausiliario e il metodo del ribaltamento del piano generico.
CARATTERISTICHE DEL METODO DELLE PROIEZIONI SUCCESSIVE:
Attraverso il metodo delle proiezioni (o rotazioni) successive è possibile assegnare al solido inclinazioni precise (e non qualsiasi) rispetto ai piani di proiezione. Il metodo prende il nome dal fatto che queste inclinazioni sono ottenute facendo ruotare, in due fasi, il solido rispetto ai piani di proiezione.
Solitamente solo le inclinazioni rispetto al P.O. e al P.V. sono assegnate dal testo dell’esercizio, e la terza proiezione spesso non viene neanche richiesta o disegnata. Infatti inclinare un solido rispetto ai piani P.O. e P.V. lo rende automaticamente inclinato anche rispetto al piano P.L.
Ma procediamo con ordine, e vediamo in che cosa consiste il metodo.
“FASE 0″ DEL METODO DELLE PROIEZIONI SUCCESSIVE:
Supponiamo che ci venga richiesto di disegnare un solido a spigolo (per esempio una piramide a base quadrata) la cui base deve risultare inclinata di un certo angolo “x” rispetto al P.O. e di un certo angolo “y” rispetto al P.V.
Iniziamo disegnando la figura dritta rispetto ai piani di proiezione, in linea continua ma sottile. Cioè con la base poggiante sul P.O. e con i suoi lati paralleli e perpendicolari alla linea di terra.
L’asse della piramide appartiene ad una retta verticale, cioè una retta perpendicolare al P.O. e parallela al P.V. e al P.L.
“FASE 1″ DEL METODO DELLE PROIEZIONI SUCCESSIVE:
Per far assumere alla base del solido una inclinazione “x” (30°, 45°, 60°) rispetto al P.O, disegniamo una linea inclinata di questa quantità sopra la linea di terra. E sopra la linea tracciamo l’esatta copia della seconda proiezione della piramide disegnata in precedenza. Sempre in linea continua ma sottile, poiché si tratta di una costruzione preparatoria e non della proiezione ortogonale definitiva. Se un vertice o uno spigolo della piramide devono continuare a poggiare sul P.O., utilizzeremo questo vertice o spigolo come perno della rotazione.
La prima proiezione della figura si trova facilmente: i punti in prima proiezione sono infatti uniti ai punti in seconda tramite rette di richiamo perpendicolari alla linea di terra. E sono collegati alle loro vecchie posizioni tramite rette di richiamo parallele alla linea di terra. Questo perché il solido ha ruotato solo rispetto al P.O., mantenendosi però parallelo al P.V.
Laddove le rette di richiamo dei punti omonimi si intersecano, là si trovano i punti in prima proiezione. Li uniremo secondo logica, con linea continua ma sottile. Non ci preoccupiamo per il momento degli spigoli in evidenza e degli spigoli nascosti, essendo questa solo una proiezione ortogonale preparatoria.
La base del solido si trova adesso su un piano proiettante in P.V., con due lati paralleli e due lati perpendicolari al P.V. E’ invece inclinata di un certo angolo “x” rispetto al P.O. Un suo spigolo appartiene al P.O.
L’asse della piramide è rimasto parallelo al P.V., ma è adesso dotato di una certa inclinazione rispetto al P.O., a causa della rotazione subita. Adesso appartiene ad una retta frontale, cioè una retta parallela al piano verticale P.V. ma inclinata rispetto al P.O. Tale inclinazione è facilmente determinabile dalla seconda proiezione della retta, oppure ricordando che asse del solido e base del solido hanno inclinazione “sfalsate”, per così dire, di 90°.
“FASE 2″ DEL METODO DELLE PROIEZIONI SUCCESSIVE:
DETERMINAZIONE DELLA PRIMA PROIEZIONE:
Ruotiamo adesso la base anche di una certa quantità “y” rispetto al P.V. Basterà disegnareuna linea inclinata di questa quantità sotto la linea di terra. E a destra o sinistra di questa linea, a distanza a piacere, tracciamo l’esatta copia della prima proiezione della piramide disegnata in precedenza. Se però un vertice o uno spigolo della piramide devono poggiare sul P.V., avremo cura di disegnare questo vertice o spigolo sulla linea di terra. Abbiamo ottenuto la prima proiezione ortogonale definitiva del solido.
Gli spigoli in evidenza e gli spigoli nascosti si trovano molto facilmente dalla seconda proiezione precedente. Esclusi tutti gli spigoli esterni della figura, si nota come lo spigolo di base AD sia il più basso di tutti, e quindi non visibile in prima proiezione. Mentre gli spigoli laterali BV e CV, essendo i più alti, sono certamente visibili.
DETERMINAZIONE DELLA SECONDA PROIEZIONE:
La seconda proiezione della figura si trova facilmente: i punti in seconda proiezione sono infatti uniti ai punti in prima tramite rette di richiamo perpendicolari alla linea di terra. E conservano le medesime altezze della loro precedente posizione. Questo perché il solido ha ruotato solo rispetto al P.V. Laddove le rette di richiamo dei punti omonimi si intersecano, là si trovano i punti in seconda proiezione.
Gli spigoli in evidenza e gli spigoli nascosti si trovano dalla prima proiezione. Esclusi tutti gli spigoli esterni della figura, si nota come gli spigoli di base AB e BC siano i più indietro di tutti, e quindi non visibili in seconda proiezione. Anche lo spigolo VB è indietro, e quindi non visibile in seconda proiezione. Invece lo spigolo VD è il più avanti di tutti, e quindi visibile. Abbiamo ottenuto la seconda proiezione ortogonale definitiva del solido.
DETERMINAZIONE DELLA terza PROIEZIONE:
La terza proiezione, ammesso che venga richiesta, è velocemente determinabile dalla prima e dalla seconda. Delle prima conserva infatti gli aggetti, e della seconda le altezze.
ANALISI DEL METODO DELLE PROIEZIONI SUCCESSIVE:
Ma concentriamoci un attimo sul solido e vediamo che tipo di inclinazione esso ha assunto.
La base del solido, avendo ruotato sia rispetto al P.O. che rispetto al P.V., appartiene adesso ad un piano generico, inclinato della quantità “x” rispetto al P.O. e alla quantità “y” rispetto al P.V.
Se la base appartiene ad un piano generico, l’asse appartiene ad una retta generica e perpendicolare al piano della base. Questa retta può appartenere a molti piani. Uno di questi è per esempio un piano proiettante in P.O. inclinato della quantità “y” rispetto al P.V.
Di tutti i piani possibili vale la pena di parlare in particolare questo perché la sua inclinazione ha una corrispondenza precisa con le inclinazioni assunte dalla base del solido. Se ne conclude che, attraverso le rotazioni della base, possiamo anche determinare il piano proiettante in P.O. a cui dovrà appartenere l’asse, giacché tra inclinazione della base e inclinazione del piano proiettante esiste una correlazione precisa.
Resta però una domanda: come cambierebbe il metodo delle proiezioni successive se il testo dell’esercizio richiedesse che l’asse del solido, a rotazioni avvenute, appartenesse ad un preciso piano proiettante in P.V. anziché un preciso piano proiettante in P.O.?
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