In questa lezione vediamo come esprimere la misura di una grandezza generata dal quoziente di altre grandezze, sia per quanto riguarda il valore medio sia per quanto riguarda l’errore commesso. Errore che, naturalmente, deriva da quello delle grandezze di partenza.
VALORE MEDIO NEL PRODOTTO DI DUE GRANDEZZE:
Immaginiamo dunque di avere due grandezze affette da errore e di volerle dividere tra loro per determinare il valore di una certa grandezza:
LA = MA ± ∆A
LB = MB ± ∆B
Come si può intuire, MA e MB sono i valori medi delle due misure, mentre ∆A e ∆B sono i loro errori assoluti. Chiamiamo LC la misura della grandezza generata dal loro quoziente.
Il valore medio di LC è facile da calcolare: sarà pari al quoziente dei valori medi di LA e LB.
LC = MC ± ∆C
MC =MA / MB
ERRORE CALCOLATO COME SEMIDISPERSIONE NEL QUOZIENTE DI DUE GRANDEZZE:
Vediamo invece quanto vale l’errore. Per calcolarlo utilizziamo il concetto di semidispersione.
Nel nostro caso, LC MAX = LA MAX / LB MIN e LC MIN = LA MIN / LB MAX.
Questo perché il valore della frazione è tanto maggiore quanto più grande è il numeratore e quanto più piccolo è il denominatore.
Dove:
LA MAX = MA + ∆A
LA MIN = MA – ∆A
LB MAX=MB + ∆B
LB MIN=MB – ∆B
Quindi:
LC MAX= (MA + ∆A) / (MB – ∆B)
LC MIN = (MA – ∆A) ∙ (MB + ∆B)
L’ERRORE ASSOLUTO DEL QUOZIENTE DI DUE GRANDEZZE:
L’errore calcolato con la semidispersione è pari a:
∆C = ½ (LC MAX – LC MIN) = ½ [(MA + ∆A) / (MB – ∆B) – (MA – ∆A) ∙ (MB + ∆B)]
Il denominatore comune delle due frazioni sarà: (MB + ∆B)∙(MB – ∆B)
Che sappiamo essere un prodotto notevole, cioè lo sviluppo della differenza tra due quadrati: (MB2 – ∆B2). Ma il termine ∆B2 lo possiamo trascurare, in quanto quadrato di una quantità già molto piccola, se paragonata ad MB2.
Trasformate le due frazioni in un’unica frazione (e si trascura per velocizzare il procedimento di descrivere passo passo questa operazione), abbiamo determinato l’espressione dell’errore assoluto nella misura del quoziente di due grandezze.
∆C = (MA ∙ ∆B + MB ∙ ∆A)/ MB2
Espressione, questa, abbastanza complicata. E lo diventa ancora di più se le grandezze coinvolte dovessero essere più di due.
L’ERRORE RELATIVO DEL QUOZIENTE DI DUE GRANDEZZE:
Vediamo, come abbiamo fatto per il prodotto, se l’errore relativo ci permette una definizione (e quindi un modo di procedere) più semplice.
Dividiamo dunque l’errore assoluto per la quantità MC =MA / MB e, laddove possibile, eseguiamo delle semplificazioni.
Si ottiene che l’errore relativo è pari a: ∆A /MA + ∆B /MB
Possiamo dunque giungere alla seguente conclusione: l’errore relativo di un quoziente è uguale alla somma degli errori relativi delle grandezze di partenza.
Per ottenere l’errore assoluto, basterà moltiplicare l’errore relativo così trovato per il quoziente dei valori medi delle grandezze di partenza.