COME DETERMINARE LE PROIEZIONI ORTOGONALI DEL PUNTO
In questa lezione parleremo di come determinare le proiezioni ortogonali del punto.
Nella scorsa lezione (clicca qui per visualizzarla) si sono introdotte le proiezioni ortogonali.
Si è parlato innanzi tutto dei tre “quadri o piani di proiezione ortogonali” (P.O., P.V.e P.L.), sebbene si sia deciso di trascurare temporaneamente questo terzo piano di proiezione. Abbiamo parlato del fatto che i primi due piani, incontrandosi, si dividono a vicenda in due semipiani: uno positivo ed uno negativo.
Abbiamo anche detto che la proiezione ortogonale del punto su un piano è il piede della perpendicolare condotta dal punto al piano. Cioè mandando dal punto A nello spazio dei raggi di proiezione perpendicolari ai piani, la loro intersezione con essi ne determina le proiezioni su quei piani: A’ e A’’.
Per rappresentare le proiezioni del punto su di un unico foglio, si immagina di ruotare i due piani di proiezione, in modo che il semipiano orizzontale positivo combaci con il semipiano verticale negativo, e in modo che il semipiano orizzontale negativo combaci con il semipiano verticale positivo.
Al di sopra della linea di terra si trovano dunque il semipiano orizzontale negativo e il semipiano verticale positivo.
Al di sotto della linea di terra si trovano invece il semipiano orizzontale positivo e il semipiano verticale negativo.
Le due proiezioni ortogonali del punto vengono così a trovarsi allineate secondo una retta che prende il nome di “retta di richiamo”. La parte sul P.O. definisce l’aggetto del punto, cioè la sua distanza dal piano verticale. Quella sul P.V. la sua quota o altezza, cioè la sua distanza dal piano orizzontale.
PROIEZIONI ORTOGONALI DEL PUNTO NEI QUATTRO DIEDRI
Vediamo adesso come rappresentare un punto in proiezioni ortogonali, a seconda di dove esso si trovi nello spazio: nel primo, nel secondo, nel terzo o nel quarto diedro.
PROIEZIONI DEL PUNTO NEL PRIMO DIEDRO
Un punto che si trova nel primo diedro (PUNTO A) ha aggetto e quota positivi. Questo perché la prima proiezione si trova sul semipiano orizzontale anteriore (che è per convenzione positivo), e la seconda sul semipiano verticale superiore (che è per convenzione positivo anch’esso).
Se immaginiamo di ruotare i due piani di proiezione, ci si accorge di una cosa molto interessante. E cioè che la sua prima proiezione (sul P.O.) si trova sotto la linea di terra, mentre la sua seconda proiezione (sul P.V.) si trova al di sopra.
Possiamo trarre una regola generale: una prima proiezione è positiva (cioè si trova sul semipiano orizzontale anteriore) se si trova sotto la linea di terra; una seconda proiezione è negativa (cioè si trova sul semipiano verticale superiore) se si trova sopra la linea di terra. Con questa regola generale risulterà molto facile capire, anche solo dall’analisi delle sue proiezioni, in quale diedro si trova un punto nello spazio.
PROIEZIONI DEL PUNTO NEL SECONDO DIEDRO
Un punto che si trova nel secondo diedro (PUNTO B) ha aggetto negativo e quota positiva. Questo perché la prima proiezione si trova sul semipiano orizzontale posteriore (che è negativo), e la seconda sul semipiano verticale superiore (che è positivo).
Se immaginiamo di ruotare i due piani di proiezione, si può notare infatti che la sua seconda proiezione (sul P.V.) si trova sopra la linea di terra. Lo stesso la prima (quella sul P.O).
PROIEZIONI DEL PUNTO NEL TERZO DIEDRO
Un punto che si trova nel terzo diedro (PUNTO C) ha aggetto e quota negativi. Questo perché la prima proiezione si trova sul semipiano orizzontale posteriore (che è negativo), e la seconda sul semipiano verticale inferiore (che è negativo anch’esso).
Se immaginiamo di ruotare i due piani di proiezione, si può notare infatti che le due proiezioni del punto hanno posizioni per così dire “invertite” rispetto a come accade per un punto nel primo diedro: la sua prima proiezione (sul P.O.) si trova sopra la linea di terra, mentre la sua seconda proiezione (sul P.V.) si trova sotto.
PROIEZIONI DEL PUNTO NEL QUARTO DIEDRO
Un punto che si trova nel quarto diedro (PUNTO D) ha aggetto positivo e quota negativa. Questo perché la prima proiezione si trova sul semipiano orizzontale anteriore (che è positivo), e la seconda sul semipiano verticale inferiore (che è negativo).
Se immaginiamo di ruotare i due piani di proiezione, si può notare infatti che la sua prima proiezione (sul P.O.) si trova sotto la linea di terra, come pure la seconda (quella sul P.V).
PARTICOLARI POSIZIONI DEL PUNTO NELLO SPAZIO
L’analisi delle proiezioni ortogonali ci permette dunque di capire come è posizionato un punto nello spazio. Per esempio il punto A qui disegnato ha prima proiezione (e quindi aggetto) positiva. Quindi sicuramente si trova sul semipiano orizzontale anteriore. Però non ha quota, e infatti la sua seconda proiezione giace sulla linea di terra. Vuol dire che il punto si trova sul P.O. Possiamo dunque trarre la conclusione che un punto che giace sul piano orizzontale (positivo o negativo) ha sempre quota nulla.
Allo stesso modo possiamo dedurre che un punto che giace sul piano verticale (positivo o negativo) ha sempre aggetto nullo (e quindi la sua prima proiezione si troverà sulla linea di terra).
Se entrambe le proiezioni del punto si trovano sulla linea di terra (e ovviamente coincidono) vuol dire che il punto si trova sulla linea di terra.
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