INTRODUZIONE:
In questa lezione vedremo nel dettaglio il “metodo del ribaltamento del piano proiettante”.
Nella scorsa lezione (a cui potete accedere cliccando qui) abbiamo cominciato a parlare di come fare a determinare la vera lunghezza di un segmento obliquo in proiezioni ortogonali.
Sappiamo infatti che un segmento, come una retta, può assumere inclinazioni differenti rispetto ai piani di proiezione P.O. e P.V., e quando un segmento risulta obliquo rispetto a tutti i piani di proiezione non riusciamo a vederne la vera lunghezza in proiezioni ortogonali.
Per riuscirci, abbiamo a nostra disposizione ben tre tecniche: il metodo della rotazione, il metodo del ribaltamento del piano proiettante e il metodo del ribaltamento del piano generico.
Nella scorsa lezione abbiamo visto nel dettaglio la prima di queste tecniche, e cioè il metodo della rotazione.
In questa lezione vedremo invece nel dettaglio il secondo metodo, che i libri di testo chiamano semplicemente “metodo del ribaltamento”, ma che io personalmente preferisco chiamare “metodo del ribaltamento del piano proiettante”, per distinguerlo dal “metodo del ribaltamento del piano generico”. Questo metodo è una perfetta alternativa al metodo della rotazione. L’unica differenza è che il metodo della rotazione è un pochino più semplice, mentre quello del ribaltamento del piano proiettante richiede diversi passaggi in più.
RIBALTAMENTO SU PIANO PROIETTANTE:
Supponiamo dunque di avere un segmento obliquo (cioè inclinato genericamente rispetto ai piani di proiezione) PQ, di cui conosciamo le proiezioni ortogonali.
Individuiamo adesso le tracce di un piano proiettante tale da contenere il segmento PQ. Possiamo scegliere indifferentemente un piano proiettante (cioè perpendicolare) al P.O o al P.V. Se il piano è proiettante in P.O., affinché il segmento PQ gli appartenga occorre che la prima traccia del piano (quella obliqua) coincida con la prima proiezione del segmento. Se invece il piano è proiettante in P.V., affinché il segmento PQ gli appartenga occorre che la seconda traccia del piano (quella obliqua) coincida con la seconda proiezione del segmento.
RIBALTAMENTO SU PIANO PROIETTATE IN PRIMA PROIEZIONE:
In questo caso, scegliamo ad esempio un piano proiettante in P.O., che chiamiamo piano β. Per la prima proiezione del segmento si fa dunque passare la prima traccia del piano. Ovviamente la seconda traccia ci appare invece come una linea verticale. Chiameremo “O” il punto dove le due tracce del piano β si incontrano.
A questo punto ribaltiamo il piano attorno ad una qualsiasi delle due tracce (la prima o la seconda) in modo da portarlo su uno dei due piani di proiezione. Se ruotiamo il piano attorno alla prima traccia, lo andiamo a ribaltare sul P.O. Mentre se ruotiamo il piano attorno alla seconda traccia, lo andiamo a ribaltare sul P.V.
Ribaltare il piano proiettante attorno ad una delle sue tracce permette di vedere in vera grandezza qualsiasi oggetto che gli appartiene. In questo caso, il segmento PQ.
Di solito quando il piano è proiettante (cioè perpendicolare) in P.O. è attorno alla prima traccia che si esegue questa rotazione, ma scegliere la seconda traccia è comunque lecito.
RIBALTAMENTO DEL PIANO ATTORNO ALLA PRIMA TRACCIA:
Ruotiamo dunque il piano β attorno a t’ β in modo da portare il piano sul P.O. Le tracce di un piano proiettante formano tra loro un angolo retto, cioè un angolo di 90°. La seconda traccia t’’ β (che chiameremo (t’’ β ) si troverà dunque ad essere perpendicolare a t’ β, e tutto ciò che il piano contiene lo vedremo in vera grandezza. Ritroviamo all’interno del piano il segmento PQ, facendo fare ai due punti estremi lo stesso ribaltamento del piano β.
Da P’ e da Q’ si mandano dunque due linee perpendicolari a t’ β. Su queste perpendicolari si trovano i punti P e Q. Ma a che altezza? E’ presto detto: la loro quota non è minimamente cambiata da quella che avevano prima che il piano subisse un ribaltamento, e quindi restano alla medesima altezza. Misura questa che possiamo riportare dopo averla misurata in seconda proiezione, oppure riportando queste altezze su t’’ β. Da qui puntiamo in O con il compasso con apertura pari alle altezze dei due punti. Altezze che riportiamo con una rotazione su (t’’ β). Da qui mandiamo due rette parallele a t’ β. Dove essere incontrano le perpendicolari omonime condotte dalle prime proiezioni P’ e Q’, là si trovano (P) e (Q).
RIBALTAMENTO DEL PIANO ATTORNO ALLA seconda TRACCIA:
Nulla vietava di ruotare il piano attorno alla sua seconda traccia, naturalmente. In questo caso il piano risultava ribaltato sul P.V. Gli estremi del segmento si trovano molto facilmente, facendo loro compiere la stessa rotazione compiuta dal piano.
RIBALTAMENTO SU PIANO PROIETTATE IN SECONDA PROIEZIONE:
Allo stesso modo, potevamo scegliere di far passare per il segmento PQ un piano proiettante in P.V. Per la seconda proiezione del segmento si fa dunque passare la seconda traccia del piano. Ovviamente la prima traccia ci appare invece come una linea verticale. Ancora una volta chiameremo “O” il punto dove le due tracce del piano β si incontrano.
RIBALTAMENTO DEL PIANO ATTORNO ALLA SECONDA TRACCIA:
Ruotiamo a questo punto il piano β attorno a t’’ β in modo da portare il piano sul P.V. Abbiamo detto che le tracce di un piano proiettante formano tra loro un angolo retto. Pertanto la prima traccia t’ β (che chiameremo (t’ β )) si troverà ad essere perpendicolare a t’’ β, e tutto ciò che il piano contiene lo vedremo in vera grandezza. Ritroviamo all’interno del piano il segmento PQ, facendo fare ai due punti estremi lo stesso ribaltamento del piano β. Il procedimento è concettualmente identico a quello che abbiamo visto precedentemente.
Da P’’ e da Q’’ si mandano dunque due linee perpendicolari a t’’ β. Su queste perpendicolari si trovano i punti P e Q. Il loro aggetto non è minimamente cambiato da quello che avevano prima che il piano subisse un ribaltamento, e quindi restano con il medesimo aggetto. Misura questa che possiamo riportare dopo averla misurata in prima proiezione, oppure riportando queste misure su t’ β. Da qui puntiamo in O con apertura pari agli aggetti dei due punti. Aggetti che riportiamo con una rotazione su (t’ β). Da qui mandiamo due rette parallele a t’’ β. Dove essere incontrano le perpendicolari omonime condotte dalle seconde proiezioni, là si trovano (P) e (Q).
RIBALTAMENTO DEL PIANO ATTORNO ALLA PRIMA TRACCIA:
Nulla vietava di ruotare il piano attorno alla sua prima traccia, naturalmente. In questo caso il piano risultava ribaltato sul P.O. Gli estremi del segmento si trovano molto facilmente, facendo loro compiere la stessa rotazione compiuta dal piano. Normalmente, però, quando il piano è proiettante in seconda proiezione, si è soliti ribaltarlo sul P.V. Cioè gli si fa compiere una rotazione attorno alla seconda traccia.
RIBALTAMENTO DEL PIANO PROIETTANTE NEL DISEGNO TECNICO:
Questa tecnica è da ricordare, perché si rivelerà molto utile anche più avanti, quando parleremo delle figure piane e delle sezioni. La tecnica del ribaltamento del piano proiettante viene infatti utilizzata per determinare la vera grandezza di una figura appartenente ad un piano proiettante.
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