A partire da questa lezione parleremo delle “sezioni sferiche” in proiezioni ortogonali. Cioè delle sezioni generate da un piano che interseca una sfera.
Le sezioni sferiche possono essere di due tipi, a seconda di quale sia l’inclinazione del piano che taglia la sfera: un cerchio o una ellisse.
Possiamo infatti distinguere tre casi:
1) SFERA TAGLIATA DA UN PIANO ORIZZONTALE O VERTICALE. Quando il piano che taglia la sfera è parallelo ad uno dei piani di proiezione, la sezione sferica è un cerchio.
2) SFERA TAGLIATA DA UN PIANO PROIETTANTE, cioè da un piano perpendicolare ad uno dei piani di proiezione e obliquo agli altri due. In questo caso, la sezione sferica sarà un’ellisse.
3) SFERA TAGLIATA DA UN PIANO GENERICO, cioè da un piano genericamente inclinato rispetto ai tre piani di proiezione. Anche in questo caso, la sezione sferica sarà un’ellisse.
Cominciamo dunque a vedere il primo di questi tre casi, cioè le proiezioni ortogonali di una sfera tagliata da un piano orizzontale o verticale.
SEZIONI SFERICHE GENERATE DA UN PIANO ORIZZONTALE:
Supponiamo di avere una sfera tagliata da un piano orizzontale. Cioè da un piano parallelo al P.O. e perpendicolare al P.V. e al P.L.
In questo caso la sezione sferica è un cerchio, che saremo in grado di vedere in vera grandezza solo sul quadro di proiezione parallelo al piano che genera la sezione, e quindi in questo caso sul P.O.
Determineremo questo cerchio molto facilmente. Basterà mandare, dai due punti A’’ e B’’ in cui la seconda traccia del piano e la seconda proiezione della sfera si intersecano, due rette di richiamo perpendicolari alla linea di terra. Le prime proiezioni di questi due punti (cioè A’ e B’) si troveranno sul diametro orizzontale della prima proiezione della sfera. Se chiamiamo C’ la prima proiezione del centro della sfera, A’ e B’ si troveranno ad uguale distanza da questo punto, e sono gli estremi del diametro orizzontale del cerchio. Puntando con il compasso nel punto C’ con apertura C’A’ oppure C’B’, si otterrà la sezione cercata. E sarà pure in vera grandezza.
In seconda proiezione, invece, il cerchio di sezione ci apparirà come un segmento poggiante sulla tracce del piano di sezione e compreso all’interno del bordo della sfera.
DIFFERENTI SEZIONI SFERICHE A SECONDA DELLA DISPOSIZIONE DEL PIANO:
Possiamo distinguere due situazioni: piano orizzontale nella calotta superiore della sfera e piano orizzontale nella calotta inferiore della sfera.
Nel primo caso, se immaginiamo che, in seguito al taglio provocato dal piano, la parte superiore della sfera venga rimossa, la sezione sferica trovata andrà disegnata in linea marcata e continua, in quanto visibile. Dovremo invece tracciare in linea continua e sottile la parte superiore del solido in seconda proiezione, in quanto non più esistente. Rimane tracciata sul disegno, in quanto esistente prima del taglio, però le sue linee diventano linee di costruzione e non più linee reali.
Se invece non vogliamo rimuovere la parte superiore del solido, le sue linee restano invariate. La sezione, in prima proiezione, continua ancora ad essere in linea marcata e continua, in quanto visibile.
Nel secondo caso, se immaginiamo che in seguito al taglio provocato dal piano la parte superiore della sfera venga rimossa, la sezione sferica trovata andrà disegnata in linea marcata e continua, in quanto visibile. Dovremo invece tracciare in linea continua e sottile la parte superiore del solido in prima e in seconda proiezione, in quanto non più esistente. Rimane tracciata sul disegno, in quanto esistente prima del taglio, però le sue linee diventano linee di costruzione e non più linee reali.
Se invece non vogliamo rimuovere la parte superiore del solido, le sue linee restano invariate. La sezione però, in prima proiezione, sarà disegnata in tratteggio, in quanto coperta dalla parte superiore del solido.
SEZIONI SFERICHE GENERATE DA UN PIANO VERTICALE:
Vediamo cosa cambia, rispetto al caso precedente, se la sfera viene tagliata da un piano verticale. Cioè da un piano parallelo al P.V. e perpendicolare al P.O. e al P.L.
Ancora una volta la sezione sferica è un cerchio, che saremo in grado di vedere in vera grandezza solo sul quadro di proiezione parallelo al piano che genera la sezione, e quindi in questo caso sul P.V.
Determineremo questo cerchio molto facilmente. Basterà mandare, dai due punti A’ e B’ in cui la prima traccia del piano e la prima proiezione della sfera si intersecano, due rette di richiamo perpendicolari alla linea di terra. Le seconde proiezioni di questi due punti (cioè A’’ e B’’) si troveranno sul diametro orizzontale della seconda proiezione della sfera. Se chiamiamo C’’ la seconda proiezione del centro della sfera, A’’ e B’’ si troveranno ad uguale distanza da questo punto, e sono gli estremi del diametro orizzontale del cerchio. Puntando con il compasso nel punto C’’ con apertura C’’A’’ oppure C’’B’’, si otterrà la sezione cercata. E sarà pure in vera grandezza.
In prima e in terza proiezione, invece, il cerchio di sezione ci apparirà come un segmento poggiante sulle tracce del piano di sezione e compreso all’interno del bordo della sfera.
DIFFERENTI SEZIONI SFERICHE A SECONDA DELLA DISPOSIZIONE DEL PIANO:
Possiamo distinguere due situazioni: piano verticale nella calotta anteriore della sfera e piano verticale nella calotta posteriore della sfera.
Nel primo caso, se immaginiamo che in seguito al taglio provocato dal piano la parte anteriore della sfera venga rimossa, la sezione sferica trovata andrà disegnata in linea marcata e continua, in quanto visibile. Dovremo invece tracciare in linea continua e sottile la parte anteriore del solido in prima proiezione, in quanto non più esistente. Rimane tracciata sul disegno, in quanto esistente prima del taglio, però le sue linee diventano linee di costruzione e non più linee reali.
Se invece non vogliamo rimuovere la parte anteriore del solido, le sue linee restano invariate. La sezione, in seconda proiezione, continua ancora ad essere in linea marcata e continua, in quanto visibile.
Nel secondo caso, se immaginiamo che in seguito al taglio provocato dal piano la parte anteriore della sfera venga rimossa, la sezione sferica trovata andrà disegnata in linea marcata e continua, in quanto visibile. Dovremo invece tracciare in linea continua e sottile la parte anteriore del solido in prima e in seconda proiezione, in quanto non più esistente. Rimane tracciata sul disegno, in quanto esistente prima del taglio, però le sue linee diventano linee di costruzione e non più linee reali.
Se invece non vogliamo rimuovere la parte anteriore del solido, le sue linee restano invariate. La sezione però, in seconda proiezione, sarà disegnata in tratteggio, in quanto coperta dalla parte anteriore del solido.
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