Esercizi sugli errori nelle MISURE INDIRETTE

INTRODUZIONE:

Questa pagina è dedicata agli esercizi sugli errori nelle misure indirette. Cioè in quelle misure generate dalla somma, dalla sottrazione, dalla moltiplicazione, dalla divisione e dall’elevamento a potenza delle misure dirette affette da errore.

Altri esercizi su questi argomenti sono presenti alla pagina “ESERCIZI SUGLI ERRORI NELLE MISURE” della sezione “ERRORI DI MISURA” del blog.

ESERCIZI SUGLI ERRORI NELLE MISURE INDIRETTE (CASO 1):

“Misuri gli spigoli a,b,c di un parallelepipedo e ottieni: a = (40,5 ± 0,3) cm, b = (10,8 ± 0,2) cm, c = (20,3 ± 0,1) cm. Esprimi correttamente il valore della misura indiretta del volume”.

Il volume del parallelepipedo è pari al prodotto delle tre dimensioni del solido.

Nel caso di una grandezza derivata dalla moltiplicazione di altre, il valore medio della grandezza derivata è pari al prodotto tra i valori medi delle grandezze di partenza. Quindi nel nostro caso è pari a Vm = 40,5 x 10,8 x 20,3 = 8879,22 cm³ = 8,9 dm³.

Per quanto riguarda l’errore di misura, facciamo ricorso a quanto riportato nelle leggi di propagazione dell’errore nelle misure indirette: l’errore relativo di un prodotto è uguale alla somma degli errori relativi delle grandezze di partenza.

Quindi, l’errore relativo del nostro volume è pari alla somma degli errori relativi delle tre dimensioni del parallelepipedo.

L’errore relativo di una misura è pari all’errore assoluto della misura diviso il valore medio della misura. Nel nostro caso, quindi, l’errore relativo del volume è pari a:

Er(V) = 0,3/40,5 + 0,2/10,8 + 0,1/20,3 = 0,0074 + 0,0185 + 0,0049 = 0,0308

Per ottenere l’errore assoluto del volume a partire dall’errore relativo, basterà moltiplicare l’errore relativo così calcolato per il valore medio del volume. Cioè 0,0308 x 8,9 = 0,274 dm³ = 0,3 dm³.

Il risultato è che la misura del volume del parallelepipedo è pari a (8,9 ± 0,3) dm³.

ESERCIZI SUGLI ERRORI NELLE MISURE INDIRETTE (CASO 2):

“Una piscina olimipionica è formata da una vasca a 10 corsie di lunghezza l = 50 m e larghezza L= 25 m. Un giudice di gara, per verificarne le dimensioni, vuole calcolare il perimetro di una piscina dove si devono svolgere le gare e, con un metro a nostro che apprezza il centimetro, misura i valori l = 50,32 m e L = 25,48 m. Calcola il valore della misura del semiperimetro della piscina e scrivilo con la sua incertezza. Calcola il valore dell’incertezza percentuale.”

Il semiperimetro di un rettangolo è pari alla somma dei suoi due lati (quello lungo e quello corto). Quindi, il valore medio del semiperimetro della piscina è pari a: Pm = 50,32 + 25,48 = 75,80 m.

Per calcolare il suo errore assoluto dobbiamo invece fare ricorso alle leggi di propagazione dell’errore: l’errore assoluto di una somma è uguale alla somma degli errori assoluti delle grandezze di partenza.

Ma noi non conosciamo il valore degli errori assoluti delle grandezze di partenza. Avendo effettuato per entrambi i lati del rettangolo una sola misurazione, assumiamo come errore assoluto di ciascuna misura la sensibilità dello strumento. E cioè, come ci dice il testo dell’esercizio, 1 cm = 0,01 m.

L’errore assoluto del semiperimetro è quindi pari alla somma degli errori assoluti del due lati:

Ea(P) = 0,01 + 0,01 = 0,02 m

Il risultato è che la misura del semiperimetro della piscina è pari a (75,80 ± 0,02) m.

Calcoliamo ora l’errore percentuale. Sappiamo che moltiplicando l’errore relativo per 100 avremo quello percentuale. Per ottenere l’errore relativo, basterà dividere l’errore assoluto della misura per il suo valore medio.

Otteniamo quindi un errore percentuale pari a: (0,02 / 75,80) x 100 = 0,026% = 0,03%

ESERCIZI SUGLI ERRORI NELLE MISURE INDIRETTE (CASO 3):

“Vuoi misurare la velocità di raffreddamento del caffè dopo che lo hai versato nella tazzina. Con un termometro di sensibilità 0,2°C misuri una temperatura iniziale di 77,8°C. Poi, con un orologio da polso, cronometri il tempo trascorso prima che la temperatura arrivi a 50,0°C e ottieni 3 min e 40 s. Presenta il risultato della tua misura della velocità di raffreddamento esprimendola in °C/s”.

Per prima cosa, trasformiamo il nostro tempo (t) in secondi. t = 3 min 40 s = (3 x 60)s + 40 s = 220s.

Se tutte le grandezze coinvolte (temperature e intervallo di tempo) non fossero affette da errori, il valore della velocità di raffreddamento del caffè sarebbe di facile calcolo:

v = (T1 – T2) / t

Ma le due temperature T1 e T2 sono affette da errore. Quindi questa formula può essere utilizzata solo per calcolare il valore medio della velocità di raffreddamento del caffè.

vm = (Tm1 – Tm2) / t = (77,8-50,0) / 220= 0,126 °C/s

Per calcolare il suo errore assoluto dobbiamo invece fare ricorso alle leggi di propagazione dell’errore: l’errore assoluto di una differenza è uguale alla somma degli errori assoluti delle grandezze di partenza.

Avendo eseguito un’unica misurazione per entrambi i valori, l’errore assoluto associato alle due misure della temperatura sarà pari alla sensibilità dello strumento adoperato. Quindi, come ci dice il testo dell’esercizio, per entrambe l’errore assoluto sarà pari 0,2 °C.

L’errore assoluto della differenza delle due temperature è quindi pari alla somma degli errori assoluti delle due temperature di partenza:

Ea(T1-T2) = 0,2 + 0,2 = 0,4 °C

L’errore assoluto della velocità di raffreddamento è invece pari a questo valore diviso l’intervallo di tempo (che non è affetto da errore): Ea(v) = [Ea (T1 – T2)]/ t = 0,4 / 220= 0,0018 °C/s = 0,002 °C/s

Il risultato è che la misura della velocità di raffreddamento è pari a (0,126 ± 0,002) °C/s.

ESERCIZI SUGLI ERRORI NELLE MISURE INDIRETTE (CASO 4):

“Alberto sta facendo pavimentare la sua nuova casa. Nella sua camera da letto, di forma rettangolare, decide di installare un parquet di betulla decorato al centro da una zona intarsiata di legno di rovere. Le dimensioni della sua stanza sono (7,50 ± 0,01) m e (6,00 ± 0,01) m. La zona centrale intarsiata ha forma quadrata di lato (1,15 ± 0,01) m. Calcola l’area della parte di stanza che deve essere ricoperta con il parquet di betulla.”

MISURA DELL’AREA DELLA STANZA:

Calcoliamo prima di tutto la misura dell’area dell’intera stanza. Sappiamo che l’area di un rettangolo è pari al prodotto del lato lungo e del lato corto. Quindi, il valore medio dell’area della stanza è pari a: Am = 7,50 x 6,00 = 45 m².

Per calcolare il suo errore assoluto dobbiamo invece fare ricorso alle leggi di propagazione dell’errore: l’errore relativo di un prodotto è uguale alla somma degli errori relativi delle grandezze di partenza.

Quindi, l’errore relativo dell’area della stanza è pari alla somma degli errori relativi dei due lati.

L’errore relativo di una misura è pari all’errore assoluto della misura diviso il valore medio della misura. Nel nostro caso, quindi, l’errore relativo dell’area della stanza è pari a:

Er(A) = 0,01/7,50 + 0,01/6,00 = 0,0013 + 0,0016 = 0,0029

Per ottenere l’errore assoluto dell’area della stanza a partire dall’errore relativo, basterà moltiplicare l’errore relativo così calcolato per il valore medio dell’area dellastanza. Cioè 0,0029 x 45 = 0,13m².

MISURA DELL’AREA DELLA zona centrale intarsiata:

Calcoliamo ora l’area della zona centrale intarsiata. Sappiamo che l’area di un quadrato è pari al quadrato del suo lato. Quindi, il valore medio dell’area della zona centrale intarsiata è pari a:

am = 1,15² = 1,3225 m².

Per calcolare il suo errore assoluto dobbiamo invece fare ricorso alle leggi di propagazione dell’errore: “L’errore relativo di una potenza è uguale al prodotto dell’esponente per l’errore relativo della base“.

Quindi, l’errore relativo della zona centrale intarsiata è pari al prodotto tra l’errore relativo del lato del quadrato e due (esponente della potenza).

Er(a) = 0,01/1,15 x 2 = 0,01739

Per ottenere l’errore assoluto dell’area della zona centrale intarsiata a partire dall’errore relativo, basterà moltiplicare l’errore relativo così calcolato per il valore medio dell’area. Cioè 0,01739 x 1,3225 = 0,0229 m².

MISURA DELL’AREA DELLA zona coperta di parquet:

L’area della zona da ricoprire di parquet di betulla è pari alla differenza delle due aree precedentemente calcolate. Quindi, il valore medio della zona da ricoprire di parquet è pari a:

Sm = Am – am = 45 – 1,3225 = 43,677 m² = 43,7 m².

L’errore assoluto della zona coperta di parquet è quindi pari alla somma degli errori assoluti delle due aree precedentemente calcolate:

Ea(S) = 0,13 + 0,0229 = 0,15 m² = 0,2 m²

Il risultato è che la misura dell’area della zona da ricoprire con il parquet di betulla è pari a (43,7 ± 0,2) m².

ESERCIZI SUGLI ERRORI NELLE MISURE INDIRETTE (CASO 5):

“Una concentrazione di una soluzione si esprime spesso in moli di soluto per litri di soluzione. Un laboratorio specializzato deve produrre una soluzione di glucosio e acqua con una concentrazione di (0,30 ± 0,01) mol/L. Una mole di glucosio ha una massa di 174 g. Un chimico prepara 5 campioni di soluzione da 10 mL e per la quantità di glucosio disciolta ottiene questi valori usando una bilancia di sensibilità pari al milligrammo: 509 mg, 514 mg, 501 mg, 512 mg, 498 mg. Determina il valore più probabile della massa di glucosio con la corretta incertezza. Calcola quindi la concentrazione con la relativa incertezza. La concentrazione della soluzione preparata soddisfa la richiesta iniziale?”

Il valore più probabile per la massa di glucosio è dato dalla media aritmetica di tutti i valori misurati. Cioè la somma di tutti i valori misurati fratto il numero di misurazioni eseguite.

Mm = (509 + 514 + 501 + 512 + 498)/5 = 2534/5 = 506,8 mg = 0,507 g

Possiamo calcolare l’errore assoluto (o incertezza) commesso nella misurazione di questa grandezza con la semidispersione. Essa è pari alla differenza tra il massimo valore assunto dalla misura e il valore minimo assunto dalla stessa misura, diviso 2.

Ea (M) = (514 -498)/2 = 8 mg = 0,008 g

Il risultato è che la misura della massa di glucosio è pari a (0,507 ± 0,008) g.

Per sapere a quante moli di glucosio corrisponde questa quantità, basterà dividere la massa di glucosio (valore medio ed errore assoluto) per la massa di una mole (174 g).

N° medio di moli = 0,507 /174 = 0,00291 mol.

Errore assoluto del n° di moli di glucosio = 0,008/174 = 0,000046 mol = 0,00005 mol

La concentrazione di soluzione è pari alle moli di soluto (valore medio ed errore assoluto) diviso il volume della soluzione (che ci fornisce il testo dell’esercizio, pari a 10 mL = 0,01 L)

Cm = 0,00291/0,01 = 0,291 mol/L

Ea(C) = 0,00005/0,01 =0,005 mol/L

La concentrazione della soluzione non soddisfa la richiesta iniziale (0,30 ± 0,01) mol/L.