In questa lezione parleremo delle leggi di propagazione degli errori nelle misure.
Nelle scorse lezioni abbiamo visto come esprimere le misure delle grandezze quand’esse sono frutto della somma, della sottrazione, della moltiplicazione e della divisione di altre grandezze. E soprattutto abbiamo visto come calcolarne l’errore.
L’errore da cui è affetta una misura indiretta deriva naturalmente da quello delle misure di partenza.
Si dice cioè che in una misurata calcolata o derivata da altre misure l’errore si propaga. Le legge (cioè il modo in cui) questo errore si propaga si basa su sei enunciati.
LEGGI DI PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI:
1) L’errore assoluto di una somma è uguale alla somma degli errori assoluti delle grandezze di partenza;
2) L’errore assoluto di una differenza è uguale alla somma degli errori assoluti delle grandezze di partenza;
3) L’errore relativo di un prodotto è uguale alla somma degli errori relativi delle grandezze di partenza;
4) L’errore relativo di un quoziente è uguale alla somma degli errori relativi delle grandezze di partenza;
5) L’errore relativo di una potenza è uguale al prodotto dell’esponente per l’errore relativo della base;
6) L’errore relativo di una radice è uguale al quoziente tra l’errore relativo del radicando e l’indice della radice.
Di quest’ultimo enunciato possiamo fornire una breve dimostrazione.
LEGGI DI PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI NEL CALCOLO DELLA RADICE:
Supponiamo che ci venga dato il seguente problema: “La misura del volume di un cubo è V= 8,0 ± 0,5 cm3. Calcolare l’errore assoluto della misura dello spigolo.”
La misura del lato del cubo, qualunque essa sia, dovrà essere espressa così: L = M ± ∆
Dove M è il suo valore medio e ∆ è l’errore da cui è affetta la misura.
Trattandosi di un cubo, si sa che la misura del suo lato è pari alla radice cubica della misura del suo volume.
Il valore medio del lato del cubo è presto calcolato: è pari alla radice cubica del valore medio del volume. Cioè radice cubica di 8,0 e quindi 2,0 cm.
Per il calcolo dell’errore assoluto, ci basiamo sulla definizione appena fornita: l’errore relativo di una radice è uguale al quoziente tra l’errore relativo del radicando e l’indice della radice.
Essendo il volume il nostro radicando, calcoliamone subito l’errore relativo. Basterà dividere il suo errore assoluto per il valore medio. Cioè 0,5/8,0. Il risultato è 0,0625.
L’errore relativo del lato del cubo (cioè della nostra radice) sarà pari a questo valore appena calcolato, fratto l’indice della radice, e cioè 3.
Il risultato è 0,0208333333…. che possiamo approssimare a 0,02. Questo è il valore relativo nel calcolo dello spigolo del cubo.
Sapendo che l’errore relativo è pari all’errore assoluto diviso il valore medio, per ottenere il valore assoluto del lato del cubo moltiplicheremo il suo errore relativo (cioè 0,02) per il suo valore medio (cioè 2,0). Il risultato è 0,04 cm.
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