INTERSEZIONE tra piramide e prisma in proiezioni ortogonali |

In questa lezione vedremo come determinare in proiezioni ortogonali la compenetrazione (o intersezione) tra una piramide a base triangolare che poggia sul P.O. e un prisma a base triangolare.

CONSIDERAZIONI PRELIMINARI SULL’INTERSEZIONE TRA LA PIRAMIDE E IL PRISMA:

Il prisma penetra all’interno della piramide, per poi uscirne. Quindi la parte centrale del prisma si trova dentro la piramide, mentre la parte iniziale e finale si trovano fuori.

*Intersezione tra una piramide e un prisma. Tratto da: “GEOMETRIA DESCRITTIVA E SUE APPLICAZIONI”, di Saverio Malara. Zanichelli editore.*

LATI COINVOLTI NELLA INTERSEZIONE TRA LA PIRAMIDE E IL PRISMA:

La prima cosa da fare, è sempre quella di escludere quei lati (di entrambi i solidi) che non fanno parte della compenetrazione. Per esempio, notiamo come i lati ED, EF, FD, GH, HL e GL del prisma non siano coinvolti nell’intersezione. Infatti sia in prima che in seconda proiezione le loro proiezioni non si sovrappongono alle proiezioni ortogonali della piramide, ma gli sono invece esterne.

I lati EH, FL e DG, invece, penetrano all’interno della piramide. Infatti sia in prima che in seconda proiezione le proiezioni dei tre lati si sovrappongono alle proiezioni ortogonali della piramide. Il problema che è non sappiamo quali sono i punti esatti in cui i tre lati entrano nella piramide e quali sono i punti esatti in cui ne escono. Questi sei punti (due per ciascun lato) si chiamano punti di rottura.

Lati del prisma coinvolti e non coinvolti nell'intersezione. — *Lati del prisma coinvolti e non coinvolti nell’intersezione. Tratto da: “GEOMETRIA DESCRITTIVA E SUE APPLICAZIONI”, di Saverio Malara. Zanichelli editore.*

TECNICA UTILIZZATA PER RISOLVERE L’INTERSEZIONE:

La compenetrazione tra due solidi a spigolo si risolve in realtà in maniera simile a come si risolve l’intersezione tra una figura solida e una retta. Problema, questo, che abbiamo già trattato in una precedente lezione.

Una volta stabilito quali lati dei due solidi sono coinvolti nell’intersezione, si considerano i lati del solido con il minor numero di lati coinvolti come se fossero rette, e si determinano i loro punti di rottura proprio come si fa nei casi in cui il solido è intersecato da una retta. In questo caso, lo faremo con i lati del prisma, avendo esso solo tre spigoli coinvolti nella compenetrazione.

Possiamo decidere di lavorare o in prima o in seconda proiezione indistintamente. Poiché la scelta è indifferente, sceglieremo la proiezione che meglio ci aiuterà ad identificare i punti di rottura. Lavoreremo dunque in seconda proiezione per quanto riguarda lo spigolo FL, e in prima proiezione per quanto riguarda gli altri.

Immaginiamo pertanto di far passare per il spigolo FL un piano orizzontale, tale da avere la seconda traccia coincidente la seconda proiezione dei lati. Immaginiamo invece di far passare per gli spigoli EH e DG un piano verticale, tale da avere la prima traccia coincidente la prima proiezione dei lati.

*Tracce dei piani passanti per i lati del prisma. Tratto da: “GEOMETRIA DESCRITTIVA E SUE APPLICAZIONI”, di Saverio Malara. Zanichelli editore.*

DETERMINAZIONE DELL’INTERSEZIONE TRA LA PIRAMIDE E IL PRISMA:

PUNTI DI ROTTURA SUL LATO FL:

Il piano che passa per lo spigolo F’’L’’ interseca gli spigoli della piramide in tre punti: 1’’ (che si trova sullo spigolo A’’V’’), e 2’’ e 3’’ (che trovano sullo spigolo V’’B’’ e sullo spigolo V’’C’’). Riportiamo questi punti in prima proiezione, attraverso delle rette di richiamo, sugli spigoli corrispondenti. Uniamo i punti così trovati in modo da ottenere un poligono convesso.

Questo poligono interseca la prima proiezione dello spigolo F’L’ in due punti, che chiameremo H’ e K’. Questi sono i due punti di rottura che stavamo cercando. Ritroveremo facilmente questi punti in seconda proiezione, sullo spigolo F’’L’’. Stabiliamo che FL entri nel solido dal punto H e ne esca da K. La parte dello spigolo che si trova all’interno del poligono è la parte che si trova all’interno della piramide.

*Intersezione tra una piramide e un prisma: punti di rottura sul lato FL. Tratto da: “GEOMETRIA DESCRITTIVA E SUE APPLICAZIONI”, di Saverio Malara. Zanichelli editore.*

PUNTI DI ROTTURA SUL LATO EH:

Passiamo ora all’altro spigolo. Il piano che passa per lo spigolo E’H’ interseca gli spigoli della piramide in tre punti: 4’ (che si trova sullo spigolo A’B’), 5’ (che si trova sullo spigolo V’B’), e 6’ (che trova sullo spigolo B’C’). Riportiamo questi punti in seconda proiezione, attraverso delle rette di richiamo, sugli spigoli corrispondenti. Uniamo i punti così trovati in modo da ottenere un poligono convesso.

Questo poligono interseca la seconda proiezione dello spigolo E’’H’’ in due punti, che chiameremo X’’ e Y’’. Questi sono i due punti di rottura che stavamo cercando. Ritroveremo facilmente questi punti in prima proiezione, sullo spigolo E’H’. Stabiliamo che EH entri nel solido dal punto X e ne esca da Y. La parte dello spigolo che si trova all’interno del poligono è la parte che si trova all’interno della piramide.

*Intersezione tra una piramide e un prisma: punti di rottura sul lato EH. Tratto da: “GEOMETRIA DESCRITTIVA E SUE APPLICAZIONI”, di Saverio Malara. Zanichelli editore.*

Con ragionamenti analoghi, determiniamo i due punti di rottura anche per lo spigolo DG.

CONCLUSIONE DELL’INTERSEZIONE TRA UN SOLIDO E UNA FIGURA PIANA:

Uniamo tra loro tutti i punti di rottura di entrata e tutti i punti di rottura di uscita. Ottenendo così le due “sezioni di rottura”.

*Intersezione tra una piramide e un prisma: sezioni di rottura. Tratto da: “GEOMETRIA DESCRITTIVA E SUE APPLICAZIONI”, di Saverio Malara. Zanichelli editore.*

A questo punto, adesso che sappiamo come i due solidi si intersecano tra loro, andremo a disegnare in linea tratteggiata quella parte degli spigoli della piramide che risulta all’interno della compenetrazione, e in linea marcata quella parte degli spigoli della piramide che risulta all’esterno della compenetrazione (e che naturalmente risulta visibile in proiezioni ortogonali).