INTRODUZIONE:
A partire da questa lezione, parleremo di come fare a determinare, in proiezioni ortogonali, la vera lunghezza di un segmento obliquo (cioè inclinato a piacere) rispetto ai piani di proiezione.
Argomento, questo, che si rivela molto utile per esempio nei problemi di distanza tra punti, rette e piani. Questo perché la distanza tra questi elementi è un segmento, e determinarne la vera lunghezza dopo averne determinato le proiezioni ortogonali è lo step finale di qualsiasi problema di distanza.
INCLINAZIONE DEL SEGMENTO IN PROIEZIONI ORTOGONALI RISPETTO AI PIANI DI PROIEZIONE:
Un segmento è una parte di retta limitata da due suoi punti, che vengono detti “estremi del segmento”. In proiezioni ortogonali, il segmento è determinato dalle proiezioni dei suoi due estremi.
Ora, essendo una parte della retta, anche il segmento può assumere differenti inclinazioni rispetto ai piani di proiezione.
PROIEZIONI ORTOGONALI DEL SEGMENTO APPARTENENTE AD UNA RETTA GENERICA:
Un segmento che appartiene ad una retta generica si dice “obliquo”. La retta generica è infatti una retta inclinata in maniera qualsiasi rispetto ai due piani di proiezione P.O. e P.V. Quindi ogni segmento che le appartiene è a sua volta inclinato in maniera qualsiasi rispetto ai due piani di proiezione. E quindi dalle proiezioni ortogonali di un segmento obliquo non siamo in grado di stabilire la sua vera lunghezza.
PROIEZIONI ORTOGONALI DEL SEGMENTO APPARTENENTE AD UNA RETTA ORIZZONTALE O FRONTALE:
Sappiamo però che una retta può anche essere orizzontale o frontale.
Una retta orizzontale è una retta parallela al P.O. e obliqua rispetto al P.V. La sua prima proiezione è obliqua, mentre la sua seconda proiezione è una linea perfettamente orizzontale. Un segmento che appartiene a questa retta è (ovviamente) a sua volta parallelo al piano P.O. e obliquo rispetto al P.V. Essendo parallelo al P.O., la sua prima proiezione è parallela al segmento reale. Quindi in prima proiezione siamo in grado di vedere la sua vera lunghezza.
Una retta frontale è invece una retta parallela al P.V. e obliqua rispetto al P.O. La sua seconda proiezione è obliqua, mentre la sua prima proiezione è una linea perfettamente orizzontale. Un segmento che appartiene a questa retta è (ovviamente) a sua volta parallelo al piano P.V. e obliquo rispetto al P.O. Essendo parallelo al P.V., la sua seconda proiezione è parallela al segmento reale. Quindi in seconda proiezione siamo in grado di vedere la sua vera lunghezza.
PROIEZIONI ORTOGONALI DEL SEGMENTO APPARTENENTE AD UNA RETTA PROIETTANTE:
Una retta può anche essere proiettante, cioè perpendicolare ad uno dei piani di proiezione. Una retta perpendicolare ad uno dei piani di proiezione è automaticamente parallela all’altro piano.
Quando una retta è perpendicolare rispetto al P.O. è automaticamente parallela al P.V. Questa retta possiede solo la prima traccia, che coincide con la sua prima proiezione. Mentre la seconda proiezione è una linea verticale. Un segmento che appartiene a questa retta è a sua volta perpendicolare al piano P.O. e parallelo al piano P.V. Essendo parallelo al P.V., la seconda proiezione del segmento è parallela al segmento reale. Quindi in seconda proiezione siamo in grado di vedere la sua vera lunghezza.
Ugualmente, una retta perpendicolare rispetto al P.V. è automaticamente parallela al P.O. Questa retta possiede solo la seconda traccia, che coincide con la sua seconda proiezione. Mentre la prima proiezione è una linea orizzontale. Un segmento che appartiene a questa retta è a sua volta perpendicolare al piano P.V. e parallelo al piano P.O. Essendo parallelo al P.O., la prima proiezione del segmento è parallela al segmento reale. Quindi in prima proiezione siamo in grado di vedere la sua vera lunghezza.
Se una retta è perpendicolare rispetto al P.L. è automaticamente parallela al P.O. e al P.V. La prima e la seconda proiezione di questa retta sono da due linee orizzontali. Un segmento che appartiene a questa retta è a sua volta parallelo al piano P.O. e al piano P.V. Essendo parallelo sia al P.O. che al P.V., la prima e la seconda proiezione del segmento sono parallele al segmento reale. Quindi in prima e in seconda proiezione siamo in grado di vedere la sua vera lunghezza.
METODI PER DETERMINARE LA VERA LUNGHEZZA DI UN SEGMENTO OBLIQUO IN PROIEZIONI ORTOGONALI:
Possiamo trarre una conclusione generale: quando un segmento è parallelo ad almeno uno dei piani di proiezione, riusciamo a vederne la vera lunghezza nella sua proiezione su quel piano. Se invece il segmento risulta obliquo rispetto a tutti i piani di proiezione (cioè appartiene ad una retta generica), non riusciamo a vederne la vera lunghezza in proiezioni ortogonali. Per farlo, occorre “ruotarlo” in modo da portarlo ad essere dritto rispetto ad uno dei piani di proiezione o “ribaltarlo” sui piani di proiezione.
Esistono essenzialmente tre tecniche per far questo: una tecnica “della rotazione”, e due tecniche “di ribaltamento” (del piano proiettante o del piano generico).
In generale la vera lunghezza di un segmento viene determinata o con il metodo della rotazione o con il metodo del ribaltamento del piano proiettante. E la scelta tra queste due tecniche è assolutamente a piacere. Semplicemente la seconda tecnica è un pochino più laboriosa della prima. Se invece ci vengono fornite le tracce del piano (generico) a cui il segmento appartiene, si utilizzerà la tecnica del ribaltamento del piano generico. Anche se in realtà questa tecnica è più frequentemente utilizzata con l’intento opposto: cioè note le reali misure del segmento, lo si vuole portare sul piano generico.
Avremo modo di vedere nel dettaglio ed una per una le tecniche per determinare la vera lunghezza di un segmento nelle prossime lezioni di questa stessa sezione.
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