INTRODUZIONE:
In questa lezione vedremo nel dettaglio come determinare l’angolo in vera ampiezza che due rette formano tra di loro.
Nella scorsa lezione (a cui potete accedere cliccando qui) abbiamo invece parlato di come determinare in proiezioni ortogonali la vera inclinazione di una retta generica.
Quando una retta è generica, infatti, essa risulta inclinata in maniera qualsiasi rispetto ai piani di proiezione, e non siamo in grado di vedere la sua vera inclinazione dalle sue proiezioni ortogonali. L’inclinazione di una retta è data dai due angoli che essa forma con i piani di proiezione P.O. e P.V.
Problema, questo, nuovamente presente anche nella determinazione della forma di un angolo. Perché è proprio la difficoltà nel determinare la vera inclinazione delle rette ad impedire di vedere l’angolo in vera inclinazione.
INCLINAZIONE DELLE RETTE NELLO SPAZIO:
Sappiamo che due rette possono essere orientate in tre modi l’una rispetto all’altra:
1) PARALLELE,quando appartengono allo stesso piano ma non hanno punti in comune.
2) INCIDENTI, quando appartengono allo stesso piano ed hanno un punto in comune.
3) SGHEMBE quando non appartengono allo stesso piano.
Da quanto appena detto, risulta chiaro che la questione di determinare l’angolo in vera ampiezza che due rette formano tra di loro riguarda solo le rette incidenti, giacché rette parallele e rette sghembe non si intersecano mai.
Una volta appurato che le due rette fornite sono incidenti (cioè si incontrano in un punto), per capire come muoversi è necessario innanzi tutto determinare il piano che le contiene entrambe. Il tipo di piano sarà infatti ciò che determinerà il metodo da utilizzare per ottenere l’angolo d’incontro in vera ampiezza. Ricordiamo che una retta appartiene ad un piano quando le sue tracce giacciono sulle tracce omonime del piano.
Determinate quindi le tracce del piano che contiene entrambe le rette, possono presentarsi tre situazioni.
ANGOLO IN VERA FORMA TRA DUE RETTE SU PIANO PARALLELO:
Se il piano che contiene entrambe le rette incidenti è un piano parallelo ad uno dei piani di proiezione (come accade con le rette orizzontali, le rette frontali o le rette proiettanti) è possibile vedere l’angolo in vera ampiezza che le due rette formano incontrandosi grazie alle loro proiezioni ortogonali. E quindi non è necessario svolgere alcuna operazione.
Infatti, se il piano è parallelo al P.O., vedremo quest’angolo in vera ampiezza in prima proiezione. Se il piano è parallelo al P.V. vedremo quest’angolo in vera ampiezza in seconda proiezione.
ANGOLO IN VERA FORMA TRA DUE RETTE SU PIANO PROIETTANTE:
Se invece il piano che contiene entrambe le rette incidenti è un piano proiettante (cioè perpendicolare ad uno dei piani di proiezione, ma obliquo rispetto all’altro) non siamo in grado di vedere l’angolo di incontro tra le due rette in vera ampiezza. Però la questione si risolve molto facilmente.
Basterà ribaltare il piano in questione attorno alla traccia obliqua, e determinare la vera inclinazione delle due rette incidenti che gli appartengono con il metodo del ribaltamento. Metodo, questo, che abbiamo visto nel dettaglio nella scorsa lezione.
Vediamo come, assumendo che il piano proiettante in questione (che chiameremo piano β) sia ad esempio perpendicolare al P.O.
Ribaltiamo il piano attorno ad una delle sue tracce in modo da portarlo su uno dei due piani di proiezione. Sappiamo infatti che ribaltare il piano proiettante attorno ad una delle sue tracce permette di vedere in vera grandezza o inclinazione qualsiasi oggetto che gli appartiene. In questo caso, le due rette.
Quando il piano è proiettante (cioè perpendicolare) in P.O. è solitamente attorno alla prima traccia che si esegue questa rotazione, in modo da portare il piano sul P.O.
IL METODO PER DETERMINARE L’ANGOLO IN VERA FORMA (PIANO PROIETTANTE):
Ruotiamo dunque il piano β attorno a t’β in modo da portare il piano sul P.O. Sappiamo che le tracce di un piano proiettante (se visto nella sua vera inclinazione) formano tra loro un angolo retto, cioè un angolo di 90°. Quindi, a ribaltamento avvenuto, la seconda traccia t’’β (che chiameremo (t’’β)) si troverà ad essere perpendicolare a t’β, e tutto ciò che il piano contiene lo vedremo in vera grandezza o inclinazione.
Le prime tracce delle due rette (T1r e T1s) già si trovavano su t’β. E poiché questa traccia non si è mossa (anzi è stata il perno della nostra rotazione), T1r e T1s sono rimaste dov’erano.
T2r e T2s hanno invece ruotato assieme a t’’β, e dunque ora dovranno trovarsi su (t’’ β). Ma a che altezza? La loro quote non sono minimamente cambiate da quelle che avevano prima che il piano subisse un ribaltamento. Misure queste che possiamo riportare su (t’’β) dopo averle misurate in seconda proiezione. Oppure puntando in T2r’ e T2s’ con il compasso con apertura pari alle altezze rispettivamente di T2r e T2s.
La linea che congiunge T1r a (T2r) è la vera inclinazione della retta r sul P.O. mentre la linea che congiunge T1s a (T2s) è la vera inclinazione della retta s sul P.O. Qui riusciamo a vedere l’angolo che esse formano incontrandosi, in vera ampiezza.
ANGOLO IN VERA FORMA TRA DUE RETTE SU PIANO GENERICO:
Più complicata è la questione se il piano che contiene entrambe le rette incidenti è invece un piano generico. Come accadeva per le rette sul piano proiettante, non siamo ancora una volta in grado di vedere l’angolo che essere formano in vera ampiezza dalle sole proiezioni ortogonali. E questo a causa dell’inclinazione che le due rette (e naturalmente anche il loro piano) assumono rispetto ai piani di proiezione.
Come nel caso del piano proiettante, è necessario ribaltare il piano generico su uno dei due piani di proiezione, in modo da vedere ciò che esso contiene in vera grandezza o inclinazione. Ma mentre nel piano proiettante questo procedimento è tutto sommato semplice, nel piano generico esso richiede diversi passaggi in più.
DOVE TROVARE LE DISPENSE DELLE DISTANZA TRA DUE RETTE E TRA DUE PIANI:
Questa lezione (cioè l’angolo in vera forma che due rette appartenenti ad un piano generico formano tra loro) e gli argomenti di cui essa si compone sono trattati e spiegati all’interno di dettagliate e chiare dispense, che potete scaricare a questa pagina del mio sito (proprio al fondo della pagina). Una volta entrati all’interno della pagina sarà sufficiente seguire le istruzioni riportate.
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