INTRODUZIONE:
Questa lezione è dedicata ad illustrare, per un segmento, il cosiddetto “metodo del ribaltamento del piano generico” in proiezioni ortogonali.
Questo metodo (lo dice il nome stesso) viene utilizzato quando si ha a che fare con un piano generico, e i suoi scopi sono essenzialmente due.
Il primo è determinare le reali dimensioni di un segmento (o di un altro qualsiasi ente geometrico o figura piana) quando esso si trova su un piano generico. Il secondo è portare il segmento (o un altro qualsiasi ente geometrico o figura piana) su un piano generico quando se ne conoscono le reali dimensioni. In questa lezione vedremo il primo: determinare la vera lunghezza di un segmento.
QUANDO UTILIZZARE IL METODO DEL RIBALTAMENTO DEL PIANO GENERICO:
Sappiamo che quando un segmento risulta obliquo rispetto a tutti i piani di proiezione non riusciamo a vederne la vera lunghezza in proiezioni ortogonali. E sappiamo anche (dalle precedenti lezioni) che per riuscire a vederlo in vera grandezza esistono tre metodi: il metodo della rotazione, il metodo del ribaltamento del piano proiettante e infine il metodo del ribaltamento del piano generico.
Nella scorsa lezione abbiamo visto nel dettaglio la seconda di queste tecniche, e cioè il metodo del ribaltamento del piano proiettante.
Il metodo del ribaltamento del piano generico verrà utilizzato per determinare la vera lunghezza di un segmento obliquo rispetto ai piani di proiezione se ci vengono fornite le tracce del piano generico a cui esso appartiene. Se queste tracce non ci sono fornite, ci conviene utilizzare uno dei due metodi che abbiamo visto nelle scorse lezioni: il metodo della rotazione o il metodo del ribaltamento del piano proiettante.
IL PROBLEMA DELLA VERA LUNGHEZZA DEL SEGMENTO:
Immaginiamo dunque di avere le proiezioni ortogonali di un segmento PQ appartenente ad un piano generico α, di cui conosciamo le due tracce t’α e t’’α. Per verificare che il segmento appartiene al piano, è sufficiente far passare per esso le proiezioni di una retta r. Poiché le tracce della retta giacciono sulle tracce omonime del piano, la retta (e quindi il segmento PQ) appartengono al piano, come abbiamo già potuto constatare nella lezione sui problemi di appartenenza. Chiamiamo O il punto in cui le due tracce del piano generico si incontrano.
Appartenendo ad un piano generico, non riusciamo a determinare la vera lunghezza del segmento PQ dalle sue proiezioni ortogonali.
Per riuscirci utilizziamo la stessa idea alla base del metodo del ribaltamento del piano proiettante, e cioè ribaltare il piano α attorno ad una qualsiasi delle due tracce (la prima o la seconda) in modo da portarlo su uno dei due piani di proiezione. Se ruotiamo il piano attorno alla prima traccia, lo andiamo a ribaltare sul P.O. Mentre se ruotiamo il piano attorno alla seconda traccia, lo andiamo a ribaltare sul P.V.
Ribaltare un piano (proiettante o generico che sia) attorno ad una delle sue tracce permette di vedere in vera grandezza qualsiasi oggetto che gli appartiene. In questo caso, il segmento PQ.
IL PIANO PROIETTANTE COME “INTERPRETE” DEL RIBALTAMENTO:
L’unica differenza rispetto al metodo del piano proiettante, è che stavolta non possiamo eseguire direttamente questo ribaltamento. Questo perché il piano è stavolta generico, e noi non siamo capaci di dialogare direttamente con un piano generico, qualsiasi sia l’operazione che lo coinvolge. Infatti, mentre nel piano proiettante sappiamo che le due tracce devono formare un angolo di 90°, nel piano generico non sappiamo quale sia l’angolo che le due tracce formano l’una rispetto all’altra.
Per “dialogare” con il piano generico abbiamo bisogno di un interprete. E questo interprete è sempre il piano proiettante.
RIBALTAMENTO DEL PIANO GENERICO SUL P.O:
Scegliamo dunque (arbitrariamente) di ribaltare il nostro piano generico attorno alla prima traccia, in modo da portarlo sul piano orizzontale P.O. Quindi la prima traccia resta dov’è, mentre la seconda traccia si trova da qualche parte nel piano orizzontale P.O.
Per eseguire tale ribaltamento, dobbiamo prendere un piano proiettante β, perpendicolare in P.O. e tale da avere la prima traccia (quella obliqua) perpendicolare alla prima traccia del piano generico α. Lo possiamo posizionare dove vogliamo. Chiamiamo “1” il punto in cui le due prime tracce si intersecano e “2” il punto in cui si incontrano la prima e la seconda traccia di β. Chiamiamo invece “3” il punto in cui si incontrano le seconde tracce.
Puntiamo con il compasso nel punto O, con apertura O-3, e tracciamo un arco di circonferenza che riporta questa misura su t’β. Chiamiamo il punto travato (3), cioè “3 ribaltato”. La seconda traccia del piano, a ribaltamento avvenuto, passerà per il punto O (come del resto faceva anche prima) e per (3).
Ecco dunque che abbiamo ribaltato il piano generico attorno alla prima traccia e abbiamo determinato l’angolo in vera ampiezza che le due tracce formano tra loro. La vera lunghezza del segmento che stiamo cercando si troverà da qualche parte dentro il piano in vera grandezza, cioè nello spazio limitato da t’α e (t’’α).
RIBALTAMENTO SUL P.O. DEL SEGMENTO APPARTENENTE AL PIANO GENERICO:
Ritroviamo all’interno del piano ribaltato il segmento PQ, facendo fare ai due punti estremi lo stesso ribaltamento del piano α.
Da P’ e da Q’ si mandano dunque due linee perpendicolari a t’α. Su queste perpendicolari si trovano i punti P e Q. Ma a che altezza? La loro quota non è minimamente cambiata da quella che avevano prima che il piano subisse un ribaltamento, e quindi restano alla medesima altezza. Misura questa che troviamo dalla seconda proiezione, riportando queste altezze su t’’α. Da qui puntiamo in O con il compasso con apertura pari alle altezze dei due punti. Altezze che riportiamo con una rotazione su (t’’α). Da qui mandiamo due rette parallele a t’α. Dove essere incontrano le perpendicolari omonime condotte dalle prime proiezioni P’ e Q’, là si trovano (P) e (Q). Le uniremo in modo da vedere il segmento in vera lunghezza.
RIBALTAMENTO DEL PIANO GENERICO SUL P.V:
Nulla vietava di ruotare il piano attorno alla sua seconda traccia, naturalmente. In questo caso il piano risultava ribaltato sul P.V.
Per eseguire tale ribaltamento, dobbiamo prendere un piano proiettante β, stavolta perpendicolare in P.V. e tale da avere la seconda traccia (quella obliqua) perpendicolare alla seconda traccia del piano generico α. Ancora una volta possiamo posizionarlo dove vogliamo. Chiamiamo “1” il punto in cui le due seconde tracce si intersecano. Chiamiamo invece “3” il punto in cui si incontrano le prime tracce.
Puntiamo con il compasso nel punto O, con apertura O-3, e tracciamo un arco di circonferenza che riporta questa misura su t’’β. Chiamiamo il punto travato (3), cioè “3 ribaltato”. La prima traccia del piano, a ribaltamento avvenuto, passerà per il punto O (come del resto faceva anche prima) e per (3).
Ecco dunque che abbiamo ribaltato il piano generico attorno alla seconda traccia e abbiamo determinato l’angolo in vera ampiezza che le due tracce formano tra loro. La vera lunghezza del segmento che stiamo cercando si troverà da qualche parte dentro il piano in vera grandezza, cioè nello spazio limitato da t’’α e (t’α).
RIBALTAMENTO SUL P.V. DEL SEGMENTO APPARTENENTE AL PIANO GENERICO:
Ritroviamo all’interno del piano ribaltato il segmento PQ, facendo fare ai due punti estremi lo stesso ribaltamento del piano α.
Da P’’ e da Q’’ si mandano dunque due linee perpendicolari a t’’α. Su queste perpendicolari si trovano i punti P e Q. Ma a che aggetto? Il loro aggetto non è minimamente cambiato da quello che avevano prima che il piano subisse un ribaltamento, e quindi restano con il medesimo aggetto. Misura questa che troviamo dalla prima proiezione, riportando queste misure su t’α. Da qui puntiamo in O con il compasso con apertura pari agli aggetti dei due punti. Aggetti che riportiamo con una rotazione su (t’α). Da qui mandiamo due rette parallele a t’’α. Dove essere incontrano le perpendicolari omonime condotte dalle seconde proiezioni P’’ e Q’’, là si trovano (P) e (Q). Le uniremo in modo da vedere il segmento in vera lunghezza.
RIBALTAMENTO DEL PIANO GENERICO NEL DISEGNO TECNICO:
Questa tecnica è da ricordare, perché si rivelerà molto utile anche più avanti, quando parleremo delle figure piane e delle sezioni. La tecnica del ribaltamento del piano generico viene infatti utilizzata per determinare la vera grandezza di una figura appartenente ad un piano generico.
GUARDA IL VIDEO DELLA LEZIONE SU YOUTUBE E ISCRIVITI AL MIO CANALE!