INTRODUZIONE:
Questa lezione è dedicata agli esercizi sugli errori nelle misure.
Nelle lezioni di questa sezione del blog (accessibili dalla pagina “ERRORI DI MISURA“), abbiamo visto come esprimere la misura di una grandezza diretta e come calcolare l’errore assoluto e l’errore relativo commesso. In seguito abbiamo fatto la stessa cosa con le grandezze derivate, introducendo anche le leggi di propagazione per le misure derivate dalla somma, la sottrazione, la moltiplicazione, la divisione, le potenze e la radice delle misure dirette.
In questa lezione vediamo come risolvere alcuni esercizi che riassumono tutti questi concetti.
ESERCIZI SUGLI ERRORI NELLE MISURE (CASO 1):
“Per determinare il volume di un corpo di forma irregolare, lo si immerge in un recipiente cilindrico pieno di acqua avente la sezione di (15,6 ± 0,3) cm2. Tenendo presente che il livello dell’acqua si innalza di (1,4 ± 0,1) cm, esprimere la misura del volume del corpo con l’indicazione dell’errore.”
Il volume del corpo di forma irregolare è pari al prodotto tra l’area della sezione del recipiente e l’innalzamento del livello dell’acqua.
Nel caso di una grandezza derivata dalla moltiplicazione di altre due, il valore medio della grandezza derivata è pari al prodotto tra i valori medi delle due grandezze di partenza. Quindi nel nostro caso è pari a 15,6 x 1,4 cm3= 21,84 cm3.
Per quanto riguarda l’errore di misura, facciamo ricorso a quanto riportato nelle leggi di propagazione dell’errore nelle misure indirette: l’errore relativo di un prodotto è uguale alla somma degli errori relativi delle grandezze di partenza.
Quindi, l’errore relativo del nostro volume è pari alla somma degli errori relativi della sezione e dell’innalzamento di acqua.
L’errore relativo di una misura è pari all’errore assoluto della misura diviso il valore medio della misura. Nel nostro caso, pari alla somma di 0,3/15,6 e di 0,1/1,4. Risultato, 0,09. Per ottenere l’errore assoluto del volume a partire dall’errore relativo, basterà moltiplicare l’errore relativo così calcolato per il valore medio del volume. Cioè 0,09 x 21,9. Si ottiene 1,971 cm3.
Possiamo anche decidere di fare a meno dei decimali, e utilizzare un errore assoluto pari a 2 cm3. Poiché errore e valore medio devono avere lo stesso numero di decimali, facciamo in modo di arrotondare anche il valore medio. Il risultato è che la misura del volume del corpo di forma irregolare è pari a (22 ± 2) cm3.
ESERCIZI SUGLI ERRORI NELLE MISURE (CASO 2):
“Le misure della lunghezza e della larghezza di un tavolo rettangolare sono 160 cm e 90 cm con l’errore del 2%. Calcolare la misura del perimetro e dell’area con l’errore assoluto.”
Chiamiamo L la lunghezza del lato maggiore del tavole e B la lunghezza del lato minore del tavolo.
CALCOLO DEL PERIMETRO:
Il perimetro di un rettangolo è pari alla somma dei suoi quattro lati. Quindi, il valore medio del perimetro del tavolo è pari a 160 + 160 + 90 + 90 = 500 cm.
Per calcolare il suo errore assoluto dobbiamo invece fare ricorso alle leggi di propagazione dell’errore: l’errore assoluto di una somma è uguale alla somma degli errori assoluti delle grandezze di partenza.
Ma noi non conosciamo il valore degli errori assoluti delle grandezze di partenza, ma solo l’errore percentuale. Sappiamo però che dividendo l’errore percentuale per 100 avremo quello relativo. Per ottenere l’errore assoluto, basterà moltiplicare l’errore relativo della misura per il suo valore medio.
Otteniamo quindi un errore assoluto di 3,2 cm per il lato più lungo e un errore assoluto di 1,8 cm per il lato più corto del tavolo.
L’errore assoluto del perimetro è quindi pari alla somma dei quattro errori assoluti del quattro lati. Il risultato è pari a 10 cm.
CALCOLO DELL’AREA:
Per quanto riguarda l’area, sappiamo che l’area di un rettangolo è pari al prodotto del lato lungo e del lato corto. Quindi, il valore medio dell’area del tavolo è pari a 160 x 90 = 14400 cm2 = 1,44 m2.
Per calcolare il suo errore assoluto dobbiamo invece fare ricorso alle leggi di propagazione dell’errore: l’errore relativo di un prodotto è uguale alla somma degli errori relativi delle grandezze di partenza.
Conosciamo, perché li abbiamo calcolati precedentemente, gli errori relativi dei due lati. L’errore relativo dell’area è dunque pari a 0,04.
Per ottenere l’errore assoluto dell’area a partire dall’errore relativo, basterà moltiplicare l’errore relativo così calcolato per il valore medio dell’area.
Cioè 0,04 x 14400= 576 cm2 = 0,0576 m2 = 0,06 m2.
ESERCIZI SUGLI ERRORI NELLE MISURE (CASO 3):
“Le misurazioni delle dimensioni di un corpo, avente la forma di un parallelepipedo rettangolare, hanno dato i seguenti risultati: (24,50 ± 0,05) mm, (12,70 ± 0,05) mm, (16,85 ± 0,05) mm. Calcolare il volume del corpo con l’errore assoluto”.
Il volume di un parallelepipedo è pari al prodotto delle sue tre dimensioni.
Il valore medio della grandezza derivata è pari al prodotto tra i valori medi delle d grandezze di partenza. Quindi nel nostro caso il valore medio del volume del corpo è pari a 21,50 x 12,70 x 16,85 mm3. Cioè 5242,87 mm3 = 5,24 cm3.
Per quanto riguarda l’errore di misura, facciamo ricorso a quanto riportato nelle leggi di propagazione dell’errore nelle misure indirette: l’errore relativo di un prodotto è uguale alla somma degli errori relativi delle grandezze di partenza.
Quindi, l’errore relativo del nostro volume è pari alla somma degli errori relativi dei tre lati.
L’errore relativo di una misura è pari all’errore assoluto della misura diviso il valore medio della misura. Nel nostro caso, pari alla somma di 0,05/24,50, di 0,05/12,70 e di 0,05/16,85. Risultato, 0,009.
Per ottenere l’errore assoluto del volume a partire dall’errore relativo, basterà moltiplicare l’errore relativo così calcolato per il valore medio del volume. Cioè 0,009 x 5,24 = 0,04716 cm3 = 0,05 cm3.
Il risultato è che la misura del volume del parallelepipedo è pari a (5,24 ± 0,05) cm3.
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