INTRODUZIONE:
Questa lezione è dedicata ad illustrare come portare su un piano generico un segmento di cui conosciamo la reale lunghezza, attraverso il metodo del ribaltamento del piano generico.
In realtà di questo metodo abbiamo già parlato nella scorsa lezione (a cui potete accedere cliccando qui). Però nella scorsa lezione l’abbiamo analizzato con lo scopo di determinare le reali dimensioni di un segmento quando esso si trova su un piano generico.
Adesso la analizziamo con l’intento opposto: portare il segmento su un piano generico quando se ne conoscono le reali dimensioni. Questa operazione (opposta al ribaltamento del segmento per determinarne la vera lunghezza) prende il nome di “raddrizzamento”.
PORTARE UN SEGMENTO SUL PIANO GENERICO:
Immaginiamo dunque di avere le proiezioni ortogonali di un piano generico α, cioè le sue due tracce t’α e t’’α, e di voler portare sopra di esso un segmento che abbia una precisa lunghezza.
Se infatti non è necessario attribuire una precisa lunghezza al segmento, per portarlo sul piano generico non è certo necessaria una tecnica così elaborata. Sarà sufficiente tracciare una retta qualsiasi tale da appartenere al piano generico e prenderne un segmento a piacere.
Per attribuire al segmento una misura precisa, dobbiamo invece poter vedere il piano generico in vera grandezza, con le sue reali dimensioni. E quindi, proprio come abbiamo visto nella scorsa lezione, occorre ribaltare il piano α attorno ad una qualsiasi delle due tracce (la prima o la seconda). Se ruotiamo il piano attorno alla prima traccia, lo andiamo a ribaltare sul P.O. Mentre se ruotiamo il piano attorno alla seconda traccia, lo andiamo a ribaltare sul P.V. Infatti ribaltare un piano (proiettante o generico che sia) attorno ad una delle sue tracce permette di vedere in vera grandezza qualsiasi oggetto che gli appartiene. In questo caso, il segmento PQ.
IL PIANO PROIETTANTE COME “INTERPRETE” DEL RIBALTAMENTO:
Però quando si tratta di un piano generico (differentemente dal piano proiettante) non possiamo eseguire direttamente questo ribaltamento. Questo perché, mentre nel piano proiettante sappiamo che le due tracce devono formare un angolo di 90°, nel piano generico non sappiamo quale sia l’angolo che le due tracce formano l’una rispetto all’altra.
Per “dialogare” con il piano generico abbiamo bisogno di un interprete. E questo interprete è sempre il piano proiettante.
RIBALTAMENTO DEL PIANO GENERICO SUL P.O:
Scegliamo dunque (arbitrariamente) di ribaltare il nostro piano generico attorno alla prima traccia, in modo da portarlo sul piano orizzontale P.O. Quindi la prima traccia resta dov’è, mentre la seconda traccia si trova da qualche parte nel piano orizzontale P.O.
Per eseguire tale ribaltamento, dobbiamo prendere un piano proiettante β, perpendicolare in P.O. e tale da avere la prima traccia (quella obliqua) perpendicolare alla prima traccia del piano generico α. Chiamiamo “1” il punto in cui le due prime tracce si intersecano e “2” il punto in cui si incontrano la prima e la seconda traccia di β. Chiamiamo invece “3” il punto in cui si incontrano le seconde tracce.
Puntiamo con il compasso nel punto O (punto d’incontro tra le tracce di α), con apertura O-3, e tracciamo un arco di circonferenza che riporta questa misura su t’β. Chiamiamo il punto trovato (3), cioè “3 ribaltato”. La seconda traccia del piano, a ribaltamento avvenuto, passerà per il punto O (come del resto faceva anche prima) e per (3).
Ecco dunque che abbiamo ribaltato il piano generico attorno alla prima traccia e abbiamo determinato l’angolo in vera ampiezza che le due tracce formano tra loro. La vera lunghezza del segmento andrà disegnata da qualche parte dentro il piano in vera grandezza, cioè nello spazio limitato da t’α e (t’’α).
PORTARE IL SEGMENTO SUL PIANO GENERICO:
Ritroviamo all’interno del piano generico le proiezioni ortogonali del segmento PQ.
Da (P) e da (Q) si mandano dunque due linee perpendicolari a t’α. Su queste perpendicolari si trovano le prime proiezioni dei due punto (cioè P’ e Q’), ma ancora non sappiamo esattamente dove.
Le quote che (P) e (Q) hanno rispetto a t’α, sono le quote che i punti hanno nella realtà, e quindi in seconda proiezione. Riportiamo queste quote sul piano generico, mandando da (P) e da (Q) due linee parallele a t’α, che incontrano (t’’α) in due punti. Da qui puntiamo in O con il compasso con apertura pari alle altezze dei due punti. Altezze che riportiamo con una rotazione su t’’α. Da qui mandiamo due rette parallele alla linea di terra. Su queste rette si trovano le seconde proiezioni dei due punti (cioè P’’ e Q’’), ma ancora non sappiamo esattamente dove.
Dalle altezze riportate su (t’’α) si mandano due perpendicolari a t’α, che incontrano la linea di terra. Da lì, mandiamo due parallele a t’α. Dove esse intersecano le due perpendicolari a t’α condotte da (P) e (Q), là di trovano le prime proiezioni dei punti, cioè P’ e Q’. Le seconde proiezioni si trovano dove le rette di richiamo condotte dalle prime proiezioni si intersecano con le rispettive quote.
RIBALTAMENTO DEL PIANO GENERICO SUL P.V:
Nulla vietava di ruotare il piano attorno alla sua seconda traccia, naturalmente. In questo caso il piano risultava ribaltato sul P.V.
Per eseguire tale ribaltamento, dobbiamo prendere un piano proiettante β, stavolta perpendicolare in P.V. e tale da avere la seconda traccia (quella obliqua) perpendicolare alla seconda traccia del piano generico α. Chiamiamo “1” il punto in cui le due seconde tracce si intersecano. Chiamiamo invece “3” il punto in cui si incontrano le prime tracce.
Puntiamo con il compasso nel punto O, con apertura O-3, e tracciamo un arco di circonferenza che riporta questa misura su t’’β. Chiamiamo il punto travato (3), cioè “3 ribaltato”. La prima traccia del piano, a ribaltamento avvenuto, passerà per il punto O (come del resto faceva anche prima) e per (3).
Ecco dunque che abbiamo ribaltato il piano generico attorno alla seconda traccia e abbiamo determinato l’angolo in vera ampiezza che le due tracce formano tra loro. La vera lunghezza del segmento andrà disegnata da qualche parte dentro il piano in vera grandezza, cioè nello spazio limitato da t’’α e (t’α).
PORTARE IL SEGMENTO SUL PIANO GENERICO:
Ritroviamo all’interno del piano generico le proiezioni ortogonali del segmento PQ.
Da (P) e da (Q) si mandano dunque due linee perpendicolari a t’’α. Su queste perpendicolari si trovano le seconde proiezioni dei due punti (cioè P’’ e Q’’), ma ancora non sappiamo esattamente dove.
Gli aggetti che (P) e (Q) hanno rispetto a t’’α, sono gli aggetti che i punti hanno nella realtà, e quindi in prima proiezione. Riportiamo queste misure sul piano generico, mandando da (P) e da (Q) due linee parallele a t’’α, che incontrano (t’α) in due punti. Da qui puntiamo in O con il compasso con apertura pari agli aggetti dei due punti. Aggetti che riportiamo con una rotazione su t’α. Da qui mandiamo due rette parallele alla linea di terra. Su queste rette si trovano le prime proiezioni dei due punti (cioè P’ e Q’), ma ancora non sappiamo esattamente dove.
Dagli aggetti riportate su (t’α) si mandano due perpendicolari a t’’α, che incontrano la linea di terra. Da lì, mandiamo due parallele a t’’α. Dove esse intersecano le due perpendicolari a t’’α condotte da (P) e (Q), là si trovano le seconde proiezioni dei punti, cioè P’’ e Q’’. Le prime proiezioni si trovano dove le rette di richiamo condotte dalle seconde proiezioni.
IL RADDRIZZAMENTO DELLE FIGURE SUL PIANO GENERICO NEL DISEGNO TECNICO:
Questa tecnica è da ricordare, perché si rivelerà molto utile anche più avanti, quando parleremo delle figure piane e delle sezioni. La tecnica del raddrizzamento viene infatti utilizzata portare sul piano generico una figura di cui si conoscono le reali dimensioni. Solitamente poligoni regolari.
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