La presente lezione riguarda le condizioni di parallelismo in proiezioni ortogonali, sia tra piani sia tra una retta ed un piano. Detto più semplicemente, vedremo quali sono le condizioni per cui, in proiezioni ortogonali, due piani sono paralleli tra loro. E successivamente quali sono le condizioni per cui una retta è parallela ad un piano.
Non parleremo invece delle condizioni di parallelismo tra due rette, in quanto l’argomento è già stato trattato in una precedente lezione, a cui potete accedere cliccando qui.
QUANDO DUE PIANI SONO PARALLELI:
Sappiamo che in proiezioni ortogonali un piano si rappresenta attraverso le sue tracce. Le tracce sono le rette di intersezione tra il piano e i piani di proiezione P.O. e P.V.
Ebbene, due piani sono paralleli se hanno le tracce omonime parallele.
PIANI GENERICI:
Prendiamo prima di tutto in considerazione due piani generici, cioè due piani genericamente orientati rispetto ai piani di proiezione. Se non ricordate cos’è un piano generico, potete riguardare la lezione relativa a questo argomento cliccando qui.
Come si vede dal disegno, il piano α e il piano β sono paralleli, in quanto hanno le tracce omonime parallele. Attenzione, però: le tracce omonime. Cioè le prime tracce devono essere parallele tra loro, e le seconde tracce devono essere parallele tra loro. Se questo non accade, cioè non sono le tracce omonime ad essere parallele, i due piani non sono paralleli.
PIANI PROIETTANTI:
La stessa condizione deve presentarsi nel caso in cui i due piani siano proiettanti, e cioè le tracce omonime devono essere parallele affinché i piani siano paralleli.
Ricordiamo che un piano proiettante è un piano perpendicolare ad uno dei piani di proiezione e obliquo rispetto all’altro. Le sue tracce hanno una forma molto caratteristica. Per ripassare come è fatto un piano proiettante, potete riguardare la lezione relativa a questo argomento cliccando qui.
PIANI PARALLELI al p.o. e al p.v.:
La stessa condizione deve presentarsi anche per quei piani che hanno un’unica traccia, e cioè per i piani paralleli ad uno dei piani di proiezione.
Un piano parallelo ad uno dei piani di proiezione è automaticamente perpendicolare all’altro. Quindi un piano parallelo è una condizione molto particolare del piano proiettante, che è sì perpendicolare ad uno dei piani di proiezione ma genericamente orientato rispetto all’altro. Essendo appunto paralleli ad uno dei piani di proiezione, essi non hanno traccia su questo piano. Hanno un’unica traccia costituita da una linea orizzontale o verticale. Potete riguardare la lezione relativa a questo argomento cliccando qui.
Anche nei piani paralleli, dunque, le tracce omonime devono essere parallele, affinché siano paralleli i piani.
L’IMPORTANZA DELLE TRACCE OMONIME:
Dicevamo prima che è molto importante far caso al fatto che le proiezioni omonime siano parallele affinché i piani siano paralleli tra loro. Vediamo di dimostrare questo concetto.
Immaginiamo di avere un piano α parallelo al piano orizzontale P.O. Questo piano possiede solo la seconda traccia, costituita da una linea orizzontale. Supponiamo di prendere un altro piano β, tale da avere la traccia parallela alla seconda traccia del piano α.
Però non è la seconda traccia del piano β ad essere parallela alla seconda traccia del piano α, bensì la prima. Quindi i due piani non sono paralleli tra loro. E infatti un piano che ha solo la prima traccia, e questa è costituita da una linea orizzontale, non è un piano orizzontale. E’ un piano verticale, cioè parallelo al P.V. I due piani quindi sono perpendicolari tra loro!
Il motivo per cui la prima traccia del piano β appare sopra la linea di terra (e non sotto come siamo abituati a vedere di solito nei piani verticali) è che esso taglia il P.O. nel secondo diedro, e quindi nel semipiano posteriore. Sul semipiano orizzontale posteriore proiezioni e tracce sono negative, e quindi appaiono sopra la linea di terra. Se non ricordate cos’è un diedro, o come variano le proiezioni degli enti geometrici a seconda del diedro in cui si trovano, potete leggere la lezione relativa a questo argomento cliccando qui.
QUANDO UNA RETTA E’ PARALLELA AD UN PIANO:
La questione relativa al parallelismo tra una retta ed un piano è trattata e spiegata passo passo all’interno di dettagliate e chiare dispense, che potete scaricare a questa pagina del mio sito. Una volta entrati all’interno della pagina sarà sufficiente seguire le istruzioni riportate.
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